Analysis

11. ALLGEMEINE STETIGE DARSTELLUNGEN 1099
Vektor v ∈ V sowie ein kompakt getragenes komplexes Maß µ ∈ M!(G)
definieren wir den Vektor µv ∈ V als das Integral
µv = gv µ〈g〉
G
oder genauer µv =
gv µ〈g〉 im Sinne von 11.8.7 für ein und jedes Kom-
K
paktum K ⊂ G, das unser Maß trägt.
11.10.3. Ist µ ein fest gewähltes Haar’sches Borelmaß und f ∈ L 1 (G; µ) eine
integrierbare Funktion mit kompaktem Träger, so setzen wir
f ∗ v = f ∗µ v = (fµ)v
für fµ das durch das Integrieren von f bezüglich µ erklärte Maß. Ist G kompakt,
so verstehen wir f ∗ v stets in Bezug auf das durch die Bedingung
µ(G) = 1 normalisierte Haar’sche Maß. Ist µ ein linksinvariantes Haar’sches
Maß, so gilt offensichtlich für jedes Gruppenelement g ∈ G die Verwandtschaft
(g·) : µ ❀ µ und für jede Funktion f auch (g·) : f ❀ ´gf und damit
für f ∈ L 1 (G; µ) notwendig (g·) : fµ ❀ (´gf)µ. Daraus hinwiederum folgt für
f integrierbar mit kompaktem Träger die Formel
g(f ∗µ v) = (´gf) ∗µ v
Man kann das im Fall separabler Gruppen auch aus 11.13.2 folgern, indem
man dort ein Maß zum Dirac-Maß bei g spezialisiert, aber das scheint mir
auch wieder unnötig kompliziert.
11.10.4. Die beiden folgenden Sätze erklären, warum es sinnvoll sein mag,
unter den vielen denkbaren Arten stetiger Darstellungen topologischer Gruppen
gerade die von-Neumann-Darstellungen von separablen lokal kompakten
Hausdorff’schen Gruppen zu betrachten.
11.10.5. In einer topologischen Gruppe gilt für jede Umgebung U des neutralen
Elements die Inklusion Ū ⊂ UU. In der Tat können wir folgern
x ∈ UU ⇒ xU −1 ∩ U = ∅ ⇒ x ∈ Ū, da xU −1 eine Umgebung von x
ist, die U nicht trifft.
Definition 11.10.6. Gegeben eine Darstellung V einer Gruppe K heißt
ein Vektor v ∈ V ein K-endlicher Vektor genau dann, wenn er mit seinen
Bildern unter allen k ∈ K einen endlichdimensionalen Teilraum von V
aufspannt. Die Menge aller K-endlichen Vektoren ist eine Unterdarstellung
VK ⊂ V , in Formeln setzen wir also
VK = {v ∈ V | dim〈Kv〉 < ∞}