Analysis

222 KAPITEL II. FUNKTIONEN EINER VERÄNDERLICHEN
Beispiel 5.3.6. Um die sechste Ableitung bei x = 0 von 1/ cosh(x) zu berechnen,
erinnern wir uns an
cosh x = 1 + x2
2
+ x4
4!
+ x6
6!
+ . . .
(1 + y) −1 = 1 − y + y 2 − y 3 + y 4 − y 5 + y 6 . . .
wo wir Gleichheitszeichen und Pünktchen geschrieben haben statt ∼ 6 mit
entsprechenden Spezifikationen. Mit unserer “höheren Kettenregel” 5.3.4 erhalten
wir dann sofort
1/ cosh(x) = 1 − ( x2
2
Als Koeffizient von x 6 ergibt sich
− 1 1 1
+ −
6! 4! 8
+( x2
2
+ x4
4!
−( x2
2
+ x4
4!
+ x6
6! )
+ x4
4!
+ x6
6! )2
+ x6
6! )3 + . . .
1
= (−1 + 30 − 90) = −61
6! 6!
und die fragliche sechste Ableitung bei x = 0 ist mithin −61. Eine andere
Möglichkeit wäre, das Approximationspolynom sechsten Grades an 1/ cosh(x)
in x = 0 als a0 + a1x + . . . + a6x 6 anzusetzen und aus der “höheren Produkt-
regel” die Gleichung
1 + x2
2
+ x4
4!
x6 a0
+ + a1x + . . . + a6x
6!
6 = 1 + bx 8 + . . .
zu folgern, die es uns hinwiederum erlaubt, induktiv die aν zu bestimmen.
Diese Rechnung kann im vorliegenden Fall zusätzlich vereinfacht werden
durch die Erkenntnis, daß eh gilt 0 = a1 = a3 = a5 = . . . , da unsere Funktion
nämlich gerade ist.
Übung 5.3.7. Gegeben zwei beliebig oft differenzierbare Funktionen auf einem
Intervall ist die Taylorreihe ihrer Summe die Summe der Taylorreihen und
die Taylorreihe des Produkts das Produkt der Taylorreihen. Hier verstehen
wir Produkt und Summe von Potenzreihen im formalen Sinn, vergleiche ??.
Ergänzende Übung 5.3.8. Man zeige, daß die Identitäten exp(log(x + 1)) =
x + 1 und log((ex −1) + 1) = x auch als formale Identitäten von Potenzreihen
gelten, daß also etwa im ersten Fall für k ≥ 2 gilt
j(1)+...+j(i)=k
1
i!
j(1)
j(i)
−(−1) −(−1)
. . .
= 0
j(1)
j(i)