Analysis

4. MANNIGFALTIGKEITEN UND LIEGRUPPEN 877
4.5 Vektorfelder auf Mannigfaltigkeiten
4.5.1. Ein Vektorfeld A auf einer glatten Mannigfaltigkeit X hatten wir bereits
in 4.4.12 erklärt als einen Schnitt des Tangentialbündels. In Formeln
ist ein Vektorfeld also eine Abbildung A : X → TX mit π ◦ A = idX für
π : TX → X die kanonische Projektion. Meist betrachten wir glatte Vektorfelder,
für die also A eine glatte Abbildung ist. Wir schreiben oft Ax für
den Wert des Vektorfelds A an der Stelle x ∈ X, so daß stets gilt Ax ∈ TxX.
Definition 4.5.2. Gegeben ein Vektorfeld A auf einer Mannigfaltigkeit X
und eine glatte Funktion f : X → R erklären wir eine weitere Funktion
(Af) : X → R durch die Vorschrift
(Af)(x) := Ax(fx)
Hier meint fx ∈ OX,x den Funktionskeim von f an der Stelle x ∈ X. Wir
sagen dann, die Funktion Af entstehe durch Ableiten der Funktion f in
Richtung des Vektorfelds A. Des weiteren können wir auch das Vektorfeld
fA bilden, das durch Multiplikation des Vektorfelds A mit der Funktion f
entsteht.
Definition 4.5.3. Gegeben eine glatte Abbildung φ : X → Y von Mannigfaltigkeiten
und Vektorfelder A auf X und B auf Y sagen wir, unsere
Vektorfelder seien φ-verwandt und schreiben
φ : A ❀ B
genau dann, wenn gilt (dxφ)(Ax) = Bφ(x) für alle x ∈ X. Ebenso sagen wir,
Funktionen g : X → R und f : Y → R seien φ-verwandt und schreiben
auch schon mal φ : g ❀ f genau dann, wenn gilt g = f ◦ φ. In diagrammatischer
Schreibweise ist die Verwandtschaft φ : A ❀ B von Vektorfeldern
gleichbedeutend zur Kommutativität des Diagramms
X φ
A
Y
B
TX dφ
TY
Übung 4.5.4. Verwandte glatte Funktionen haben in Bezug auf verwandte
Vektorfelder verwandte Ableitungen. Ist also in Formeln φ : X → Y glatt
und gilt φ : A B für Vektorfelder und φ : g ❀ f für Funktionen, so folgt
φ : Ag ❀ Bf. Anders formuliert gilt für jede glatte Funktion f : Y → R die
Identität
A(f ◦ φ) = (Bf) ◦ φ