Analysis

4. SCHROTTHALDE ZUR ANALYSIS 1321
gegeben derart, daß für J ⊂ I und mit der Notation ΦJ I : Ens(I, [0, 1]) →
Ens(J, [0, 1]) für das Vorschalten der Injektion J ↩→ I stets gilt
J
ΦI ∗ µI = µJ
So existiert genau ein Borelmaß µ auf Ens(T, [0, 1]) mit ΦI
T ∗ µ = µI für
alle endlichen I ⊂ T .
Beweis. Es ist leicht zu sehen, daß die Mengen ΦI −1 T (A) für A ⊂ Ens(I, [0, 1])
meßbar und I ⊂ T endlich aber beliebig einen Mengenring I bilden, und daß
es genau eine Abbildung µ von diesem Mengenring I nach [0, ∞) gibt mit
Φ
I −1
µ T (A) = µI(A)
wann immer I ⊂ T endlich ist und A ⊂ Ens(I, [0, 1]) meßbar. Ebenso leicht
sieht man, dass diese Abbildung µ additiv ist. Sobald wir die σ-Additivität
von µ zeigen können, folgt unser Lemma aus dem Maßfortsetzungssatz von
Caratheodory. Um die σ-Additivität zu zeigen, argumentieren wir wie im Vorfeld
der Konstruktion des Lebesgue-Maßes beim Beweis von Lemma IV.6.2.6.
Es gilt zu zeigen, daß für A =
n∈N An eine disjunkte Vereinigung mit
A, An ∈ I gilt
µ(A) =
µ(An)
n∈N
Offensichtlich gilt schon einmal µ(B ∪ C) = µ(B) + µ(C) für B, C ∈ I
disjunkt. Wir setzen nun Bn = A\(A0 ∪ . . . ∪ An). Natürlich gehören dann
auch die Bn zu I, es gilt B0 ⊃ B1 ⊃ . . . und
n∈N Bn = ∅, und es reicht,
wenn wir zeigen
lim
n→∞ µ(Bn) = 0
Sei ε > 0 beliebig. Aufgrund der Regularität von Borel-Maßen auf [0, 1] r nach
IV.6.7.1 und dem Satz von Tychonoff VI.17.4.7 finden wir für jedes n eine
kompakte Menge Cn ⊂ Bn aus I für die gilt
µ(Bn\Cn) ≤ 2 −n ε
Jetzt betrachten wir Dn = C0 ∩ . . . ∩ Cn. Auch die Dn gehören zu I, es gilt
Dn ⊂ Cn ⊂ Bn, und zusätzlich haben wir D0 ⊃ D1 ⊃ D2 . . . Wir zeigen nun
µ(Bn\Dn) ≤ 2ε für alle n. In der Tat gilt ja
Bn\Dn =
n
Bn\Ck ⊂
k=0
n
Bk\Ck
k=0