Analysis

17. RADONMASSE UND HAAR’SCHE MASSE 1159
Satz 17.2.3 (Riesz’scher Darstellungssatz). Für jeden lokal kompakten
separablen Hausdorffraum X liefert das Bilden des Integrals eine eineindeutige
Entsprechung
{Borelmaße auf X} ∼ → {Radonmaße auf X}
17.2.4. In anderen Worten können wir also jede nichtnegative Linearform
durch genau ein Borelmaß darstellen, deshalb auch die Bezeichnung als Darstellungssatz.
Will man auf die Forderung verzichten, daß X separabel sein
soll, so muß man an die Maße auf der linken Seite der Bijektion zusätzliche
Forderungen stellen, damit das Bilden des Integrals eine Bijektion liefert, vergleiche
etwa [Hal70] oder [Rud87]: Eine Möglichkeit ist, nur solche Borelmaße
zu betrachten, bei denen (1) das Maß jeder meßbaren Menge das Infimum
der Maße der sie umfassenden offenenen Mengen ist und bei denen (2) daß
Maß jeder offenen Menge und jeder Menge endlichen Maßes das Supremum
der Maße der in ihr enthaltenen Kompakta ist. Betrachten wir zum Beispiel
eine überabzählbare Menge mit der diskreten Topologie und das topologische
Maß, das jeder abzählbaren Menge Null zuordnet und jeder überabzählbaren
Menge Unendlich, so ist das Integral jeder stetigen Funktion mit kompaktem
Träger null, obwohl unser Maß nicht identisch verschwindet. Allerdings ist
in diesem Fall auch unsere Regularitätsbedingung (2) nicht erfüllt. Meines
Erachtens sind auf topologischen Räumen Radonmaße der eigentlich natürliche
Begriff und es ist nicht sinnvoll, mit Borelmaßen zu arbeiten in einer
Allgemeinheit, in der sie nicht mehr dasselbe wie Radonmaße liefern, also jenseits
separabler lokal kompakter Hausdorff-Räume. Wir beginnen den Beweis
des Satzes mit dem Nachweis, daß nichtnegative Linearformen automatisch
gewisse Stetigkeitseigenschaften haben.
Lemma 17.2.5 (Stetigkeitseigenschaften nichtnegativer Linearformen).
Gegeben ein lokal kompakter Hausdorffraum X und eine nichtnegative
Linearform Λ : Cc(X, R) → R und ein Kompaktum K ⊂ X ist die Einschränkung
von Λ auf den Raum CK(X, R) aller stetigen Funktionen mit Träger in
K stetig für die Norm der gleichmäßigen Konvergenz.
Beweis. Das Lemma von Urysohn oder genauer 17.1.9 liefert eine stetige
nichtnegative Funktion h ∈ Cc(X, R), die auf unserem Kompaktum K konstant
Eins ist. Für f ∈ CK(X, R) gilt dann −f∞ h ≤ f ≤ f∞ h und
Anwenden von Λ liefert |Λ(f)| ≤ Λ(h) f∞.
Ergänzung 17.2.6. Gegeben ein lokal kompakter Hausdorffraum X versteht
man unter einem signierten Radon-Maß auf X eine Linearform Λ :
Cc(X, R) → R mit der Eigenschaft, daß für jedes Kompaktum K ⊂ X die