Analysis

3. ALGEBRAISCHE GRUNDBEGRIFFE 59
3 Algebraische Grundbegriffe
Auf der Schule versteht man unter einer “reellen Zahl” meist einen unendlichen
Dezimalbruch, wobei man noch aufpassen muß, daß verschiedene unendliche
Dezimalbrüche durchaus dieselbe reelle Zahl darstellen können, zum
Beispiel gilt in den reellen Zahlen ja
0, 99999 . . . = 1, 00000 . . .
Diese reellen Zahlen werden dann addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert
ohne tiefes Nachdenken darüber, wie man denn zum Beispiel mit den
eventuell unendlich vielen Überträgen bei der Addition und Subtraktion umgehen
soll, und warum dann Formeln wie (a + b) − c = a + (b − c) wirklich
gelten, zum Beispiel für a = b = c = 0, 999 . . . . Dieses tiefe Nachdenken
wollen wir im Folgenden vom Rest der Vorlesung abkoppeln und müssen
dazu sehr präzise formulieren, welche Eigenschaften für die Addition, Multiplikation
und Anordnung in “unseren” reellen Zahlen gelten sollen: In der
Terminologie, die in den folgenden Abschnitten eingeführt wird, werden wir
die reellen Zahlen charakterisieren als einen angeordneten Körper, in dem jede
nichtleere Teilmenge mit einer unteren Schranke sogar eine größte untere
Schranke besitzt. Von dieser Charakterisierung ausgehend erklären wir dann,
welche reelle Zahl ein gegebener unendlicher Dezimalbruch darstellt, und errichten
das Gebäude der Analysis. In demselben Begriffsgebäude modellieren
wir auch den Anschauungsraum, vergleiche 1.2.9 oder besser ?? und ??. Um
diese Charakterisierungen und Modellierungen verständlich zu machen, führen
wir zunächst einige grundlegende algebraische Konzepte ein, die Ihnen
im weiteren Studium der Mathematik noch oft begegnen werden.
3.1 Mengen mit Verknüpfung
Definition 3.1.1. Eine Verknüpfung ⊤ auf einer Menge A ist eine
Abbildung
⊤ : A × A → A
(a, b) ↦→ a⊤b
die jedem geordneten Paar (a, b) mit a, b ∈ A ein weiteres Element (a⊤b) ∈ A
zuordnet.
Beispiele 3.1.2. 1. Die Addition von ganzen Zahlen ist eine Verknüpfung
+ : Z × Z → Z
(a, b) ↦→ a + b