Analysis

6. STETIGKEIT IN MEHREREN VERÄNDERLICHEN 259
ist. Sei eine zweite Norm. Bezeichnet e1, . . . , en die Standardbasis des R n
und ist v = v1 e1 + . . . + vn en, so haben wir
v = v1 e1 + . . . + vn en
≤ |v1| · e1 + . . . + |vn| · en
≤ |v| · C
mit C = e1 + . . . + en . Insbesondere folgern wir, daß : R n → R
stetig ist für die durch die Maximumsnorm | | gegebene Metrik auf R n , aus
d(x, y) = |x − y| < ε/C folgt nämlich |x − y| ≤ x − y < ε. Nun ist
aber die Oberfläche des Hyperkubus
K = {v ∈ R n | |v| = 1}
| |-kompakt nach 6.7.8 und nicht leer falls gilt n ≥ 1. Nach 6.7.11 nimmt
folglich die Funktion auf K ein Minimum a an, und da K nicht den
Nullvektor enthält, ist dies Minimum notwendig positiv, a > 0. Wir folgern
zunächst einmal a|v| ≤ v für alle v ∈ K, dann gilt aber natürlich auch
a|λv| ≤ λv für alle λ ∈ R und v ∈ K, also a|w| ≤ w ∀w ∈ R n . Mit
c = 1/a gilt also |w| ≤ cw ∀w ∈ R n .
Variante zum Schluß des vorhergehenden Beweises. Statt mit Kompaktheit
zu argumentieren, kann man hier alternativ auch mit Induktion über n und
“Vollständigkeit” argumentieren, was uns insbesondere beim Beweis der Verallgemeinerung
?? helfen wird. Die Argumentation verläuft dann wie folgt:
Wir betrachten die affinen Hyperebenen Hi = {x | xi = 1}. Aus der Induktionsannahme
können wir durch Widerspruch folgern, daß es positive
Konstanten ai > 0 gibt mit
ai ≤ w ∀w ∈ Hi
In der Tat gäbe es sonst in Hi eine Folge wν mit wν → 0 für ν → ∞. Diese
Folge wäre im Sinne von 7.5.1 eine Cauchy-Folge für die von auf Hi induzierte
Metrik. Dann wäre sie aber wegen der Äquivalenz der Normen nach
der Induktionsannahme auch eine Cauchy-Folge für die von der Maximumsnorm
| | auf Hi induzierte Metrik und müßte nach 7.5.2 konvergieren gegen
einen Punkt w ∈ Hi mit w = 0. Widerspruch! Nun gibt es für v ∈ R n \0
stets λ ∈ R mit |λ| = |v| derart, daß λ −1 v in einer der affinen Hyperebenen
Hi liegt. Mit a = inf(ai) folgt a ≤ λ −1 v und |v| ≤ cv für c = 1/a.
6.9.22. Wir nennen eine Teilmenge eines endlichdimensionalen reellen Raums
offen bzw. abgeschlossen genau dann, wenn sie offen ist für die von irgendeiner
Norm auf seinem Richtungsraum induzierte Metrik. Nach unserem Satz