Analysis

7. DER SATZ VON STOKES 575
statt L ↦→ Alt p (L) notiert habe, und V ↦→ Alt V := Alt p V ist ein kontravarianter
Funktor von der Kategorie der k-Vektorräume in die Kategorie der
k-Ringalgebren.
Lemma 7.1.15 (Dachprodukt und Determinante). Gegeben ein n-dimensionaler
Vektorraum V und eine lineare Abbildung L : V → V gilt
L ⊤ = (det L) : Alt n V → Alt n V
Beweis. Ist V ein n-dimensionaler Vektorraum, so ist Alt n V eindimensional.
Für L : V → V linear muß also L ⊤ : Alt n V → Alt n V die Multiplikation mit
einem Skalar aus dem Grundkörper sein. Ist v1, . . . , vn eine Basis von V und
f1, . . . , fn die duale Basis von V ⊤ , so ist f1 ∧ . . . ∧ fn eine Basis von Alt n V
und das Lemma folgt mit expliziter Rechnung, für (det L) die Determinante
der Matrix von L in der gewählten Basis. Daß die fragliche Determinante von
der Wahl der Basis gar nicht abhängt und deshalb in der Tat (det L) notiert
werden darf, erhält man als Konsequenz.
Ergänzung 7.1.16. Nehmen wir 7.1.13 und 7.1.15 zusammen, so ergibt sich
unmittelbar die Multiplikationsformel für Determinanten ??.
Ergänzung 7.1.17. Gegeben endlichdimensionale Vektorräume V, W und Formen
ω ∈ Alt p V und η ∈ Alt q W kürzen wir die (p+q)-Form (pr ⊤ 1 ω)∧(pr ⊤ 2 η)
auf V × W auch gerne mit ω ∧ η ab und hoffen, daß der Leser aus dem Kontext
erschließen kann, wann ∧ dieses “äußere Dachprodukt” meint und wann
das “innere Dachprodukt” aus 7.1.8.
7.1.18. Für einen Vektorraum V der Dimension dim V = n liefert das Dachprodukt
V ⊤ ×Alt n−1 V → Alt n V eine nichtausgeartete Paarung, als da heißt,
jeder Isomorphismus Alt n V ∼ → R liefert vermittels unserer Paarung einen
Isomorphismus Alt n−1 V ∼ → V.
7.2 Differentialformen höheren Grades
Definition 7.2.1. Sei X ein endlichdimensionaler reeller Raum und U ⊂ X
eine Teilmenge. Ein Feld von relativen p-Formen oder kürzer eine p-Form
auf U ist eine Abbildung
ω : U → Alt p X
x ↦→ ωx
die also ausgeschrieben jedem Punkt x ∈ U eine alternierende p-Multilinearform
ωx : X × . . . × X → R zuordnet. Den Raum aller relativen p-Formen
auf U notieren wir Ω p
X (U). Wenn wir hoffen, daß die genaue Bedeutung aus
dem Kontext hervorgeht, sprechen wir auch oft abkürzend schlicht von Differentialformen.