Analysis

842 KAPITEL VI. MANNIGFALTIGKEITEN UND LIEGRUPPEN
Einparameteruntergruppen der additiven Gruppe eines normierten reellen
Vektorraums, 1.6.3 die Einparameteruntergruppen von Matrix-Liegruppen.
3.7.10. Gegeben eine topologische Gruppe ist die Linkstranslation mit x ∈ G
ein Homöomorphismus (x·) : G → G. In der Tat können wir sie beschreiben
als die Verknüpfung
G (x,id)
→ G × G m → G
wo x für die konstante Abbildung G → G mit Bild x steht, die ja stets stetig
ist. Damit ist (x·) sicher stetig. Mit demselben Argument ist aber auch ihre
Inverse (x −1 ·) stetig. In derselben Weise folgt, daß auch die Rechtstranslationen
(·x) und die Konjugationen g ↦→ xgx −1 Homöomorphismen sind für alle
x ∈ G.
3.7.11. Jede offene Untergruppe einer topologischen Gruppe ist auch abgeschlossen
als das Komplement der Vereinigung ihrer nichttrivialen Linksnebenklassen.
Übung 3.7.12. Ist G eine Hausdorff’sche topologische Gruppe und A ⊂ G
eine abelsche Untergruppe, so ist auch der Abschluß Ā unserer Untergruppe
abelsch. In der Tat folgt aus aba−1b−1 = 1 für alle a, b ∈ A dasselbe zunächst
für alle a ∈ A, b ∈ Ā und dann für alle a, b ∈ Ā.
Lemma 3.7.13. Eine zusammenhängende topologische Gruppe wird von jeder
Umgebung ihres neutralen Elements erzeugt.
Beweis. In der Tat erzeugt in jeder topologischen Gruppe jede Umgebung
des neutralen Elements eine offene Untergruppe. Nach 3.7.11 ist diese offene
Untergruppe auch abgeschlossen. Ist unsere Gruppe zusammenhängend, so
muß sie also bereits mit besagter Untergruppe übereinstimmen.
Übung 3.7.14. Man zeige, daß eine zusammenhängende topologische Gruppe
mit einer separablen Umgebung des neutralen Elements stets separabel ist,
d.h. eine abzählbare Basis der Topologie besitzt. Hinweis: Gegeben eine offene
Teilmenge U ⊂◦ G ist die Multiplikation U n → G stets offen.
Definition 3.7.15. Eine Operation einer topologischen Gruppe G auf einem
topologischen Raum X heißt stetig genau dann, wenn die zugehörige
Abbildung G × X → X stetig ist.
Übung 3.7.16. Die Operationen einer topologischen Gruppe auf sich selbst
durch Linkstranslation, Rechtstranslation und Konjugation sind stetig.
Übung 3.7.17. Jeder diskrete Normalteiler einer zusammenhängenden topologischen
Gruppe liegt bereits im Zentrum besagter Gruppe.