Analysis

792 KAPITEL VI. MANNIGFALTIGKEITEN UND LIEGRUPPEN
Übung 1.7.3. Man zeige, daß jeder nicht konstante stetige Gruppenhomomorphismus
SU(2) → SU(2) von der Gestalt (int g) ist für ein g ∈ SU(2).
Hinweis: 1.6.12.
1.8 Quaternionale Gruppen
1.8.1. Die Behauptungen des vorhergehenden Abschnitts kann man alternativ
auch im Bild der Quaternionen verstehen. Wir erinnern an den Schiefkörper
der Quaternionen
H = R ⊕ R i ⊕R j ⊕R k
aus ?? mit den Rechenregeln i 2 = j 2 = k 2 = i j k = −1 und insbesondere an
die quaternionale Konjugation
a + b i +c j +d k = a − b i −c j −d k
mit der Eigenschaft qw = ¯w¯q. Man setzt |q| = √ qq = √ a 2 + b 2 + c 2 + d 2 und
Re(q) = (q + ¯q)/2, also Re(a + b i +c j +d k) = a.
1.8.2. Alle Kugelschalen S n = {x ∈ R n+1 | x = 1} sind glatte Mannigfaltigkeiten.
Auf S 0 , S 1 und S 3 induziert die Multiplikation in R, den
komplexen Zahlen C ∼ = R 2 bzw. den Quaternionen H ∼ = R 4 aus ?? sogar die
Struktur einer Liegruppe. Für das Modell des Schiefkörpers der Quaternionen
aus dem Beweis von ?? stimmt die Gruppe S 3 der Quaternionen der Länge
Eins überein mit der Gruppe SU(2). Es scheint mir anschaulich klar und
ist auch formal nicht schwer nachzurechnen, daß der Tangentialraum beim
neutralen Element T1S 3 genau der Raum der rein imaginären Quaternionen
Q = R i ⊕R j ⊕R k = {w ∈ H | ¯w = −w} ist. Die adjungierte Darstellung der
S 3 darauf geschieht wie immer durch Konjugation, ein invariantes Skalarprodukt
können wir in diesem Fall leicht explizit angeben durch die Vorschrift
〈v, w〉 = Re(v ¯w), und dafür bilden i, j, k dann eine Orthonormalbasis.
Ergänzende Übung 1.8.3. Die Lösungsmenge in den Quaternionen der Gleichung
X 2 = −1 ist genau die Kugelschale aller Quaternionen vom Betrag
Eins mit Realteil Null.
Übung 1.8.4. Wir haben in II.1.4.3 gesehen, daß jeder Automorphismus des
Körpers R die Identität ist, und in ??, daß jeder stetige Automorphismus des
Körpers C die Identität oder die komplexe Konjugation ist. Man zeige nun,
daß jeder stetige Automorphismus des Schiefkörpers H durch die Konjugation
mit einem invertierbaren Körperelement gegeben wird und konstruiere eine
Identifikation besagter Automorphismengruppe mit der SO(3).
1.8.5. Für n ∈ N lassen wir die Gruppe GL(n; H) aller invertierbaren (n×n)-
Matrizen mit quaternionalen Einträgen auf H n operieren, indem wir Vektoren