Analysis

1296 KAPITEL VII. MIST UND VERSUCHE
(Ωi, Ai) indiziert durch gewisse i ∈ I heißt stochastisch unabhängig genau
dann, wenn für jede Wahl von Ai ∈ Ai für i ∈ I die Familie von Ereignissen
X −1
i (Ai) stochastisch unabhängig ist im Sinne von 4.9.3. Insbesondere ist unsere
Familie genau dann stochastisch unabhängig, wenn das für jede endliche
Teilfamilie gilt.
Beispiel 4.9.8. Auf dem Wahrscheinlichkeitsraum des sechsmaligen Würfelns
oder irgendeiner Verfeinerung desselben betrachten wir die drei Zufallsvariablen
X1: Ausgang des ersten Wurfs;
X2: Ausgang des zweiten Wurfs;
X3: Wieviele Zahlen wurden mindestens zweimal gewürfelt?
Die ersten beiden Zufallsvariablen nehmen Werte in {1, . . . , 6} an, die dritte
Werte in {0, 1, 2, 3}. Je zwei dieser Zufallsvariablen sind stochastisch unabhängig,
als Gesamtheit sind sie jedoch nicht stochastisch unabhängig.
Übung 4.9.9. Gegeben eine stochastisch unabhängige Familie von Zufallsvariablen
Xi : (Ω, A) → (Ωi, Ai) und meßbare Abbildungen fi : (Ωi, Ai) →
(Λi, Bi ist auch die durch i ∈ I indizierte Familie der Zufallsvaribalen fi ◦ Xi
stochastisch unabhängig.
Definition 4.9.10. Gegeben ein Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P ) und eine
Zufallsvariable X : (Ω, A) → (Ω ′ , A ′ ) heißt das Bildmaß
P X := X∗P
von P unter X die Verteilung der Zufallsvariable. Diese Verteilung ist
also ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf (Ω ′ , A ′ ).
Beispiel 4.9.11. Gegeben der Wahrscheinlichkeitsraum [0, 1] 2 eines zufälligen
Punktes aus dem Einheitsquadrat und die reellwertige Zufallsvariable
X : (a, b) ↦→ a + b
ist ihre Verteilung das Produkt des Lebesgue-Maßes mit der Dächle-Funktion,
die Träger [0, 2] hat, bei 1 den Wert Eins annimmt, an den Intervallgrenzen
verschwindet und linear verläuft auf den beiden Teilintervallen [0, 1] und
[1, 2].