Analysis

10. FUNKTIONEN AUF KOMPAKTEN LIEGRUPPEN 1039
10.2.17. Die Beweise dieser Sätze können wie gesagt wortwörtlich von den
Beweisen im Spezialfall von Matrix-Liegruppen 2.3.12, 2.3.1 und 2.4.14 übernommen
werden.
10.3 G-Strukturen auf Mannigfaltigkeiten
Wohin??
Definition 10.3.1. Sei X eine glatte n-Mannigfaltigkeit und ρ : G → V
eine reelle n-dimensionale Darstellung einer Liegruppe G. Eine ρ-Struktur
auf X ist ein Paar (Y, ϕ) bestehend aus einem glatten G-Hauptfaserbündel
π : Y → X und einem Isomorphismus
ϕ : Y ×G V ∼ → TX
von reellen Vektorraumbündeln auf X. Im Fall einer Matrix-Liegruppe wie
etwa G = SO(n) oder G = SU(n) redet man meist von einer G-Struktur
und meint damit eine ρ-Struktur in Bezug auf die offensichtliche Darstellung
ρ unserer Matrix-Liegruppe, also den Fall V = R n bzw. V = C n . Spricht
man dahingegen von einer Spin-Struktur, so meint man eine ρ-Struktur
in Bezug auf die durch die Komposition Spin(n) ↠ SO(n) ↩→ GL(n; R)
gegebene Darstellung der Spin-Gruppe.
Beispiel 10.3.2. Eine O(n)-Struktur ist“dasselbe”wie eine Riemann’sche Metrik.
In der Tat können wir jeder Riemann’schen Metrik g auf einer Mannigfaltigkeit
X eine O(n)-Struktur (Y, ϕ) zuordnen, indem wir das O(n)-
Hauptfaserbündel Y → X erklären durch die Vorschrift
⎧
⎨
Yx =
⎩ f ∈ HomR(R n
, TxX)
f ist ein Isomorphismus und
gx entspricht unter f dem
Standardskalarprodukt auf R n
mit der durch Vorschalten definierten Rechtsoperation von O(n), und dann
den Isomorphismus von Vektorraumbündeln ϕ : Y ×O(n) R n ∼ → TX durch
[f, v] ↦→ f(v) für f ∈ Yx. Gegeben eine O(n)-Struktur (Y, ϕ) erklären wir
umgekehrt eine Metrik g durch die Vorschrift, daß das Skalarprodukt gx auf
TxX unter ϕ : Yx ×O(n) R n ∼ → TxX dem Standard-Skalarprodukt auf R n
entsprechen soll. Gehen wir von einer Metrik g aus und bilden die zugehörige
O(n)-Struktur, so erhalten wir daraus natürlich die ursprüngliche Metrik
zurück. Liefern umgekehrt zwei O(n)-Strukturen (Y, ϕ) und (Y ′ , ϕ ′ ) dieselbe
Metrik auf X, so gibt es auch genau einen Isomorphismus von Hauptfaserbündeln
k : Y ∼ → Y ′ mit ϕ ′ ◦ (k × id) = ϕ : Y ×O(n) R n ∼ → TX.
⎫
⎬
⎭