Analysis

10. FUNKTIONEN AUF KOMPAKTEN LIEGRUPPEN 1059
Abbildungen von C in sich selber stillschweigend mit C identifizieren, für die
Operation eines Matrixkoeffizienten auf ψ ∈ L ∗ die Formel
(cϕ,v ∗ ψ)(w) = 〈ϕ|g|v〉〈ψ|g −1 |w〉 = 〈ϕ| g|v〉〈ψ|g −1 |w〉
wobei jeweils über g ∈ G nach dem normierten Haar-Maß zu integrieren ist
und wir unsere Regel V.1.1.3 über das Vertauschen von vektorwertigen Integralen
mit linearen Abbildungen verwendet haben. Nun ist das große Integral
( ) in der Mitte der letzten Formel offensichtlich ein G-Endomorphismus von
L, d.h. für alle h ∈ G gilt h ◦ ( ) ◦ h −1 = ( ). Da L irreduzibel ist, muß diese
Summe folglich ein Vielfaches der Identität sein, es gilt also ( ) = d idL für
ein d ∈ C. Berechnen wir auf beiden Seiten dieser Gleichung die Spur und
benutzen wieder V.1.1.3, um sie unter das Integral zu ziehen, so ergibt sich
in C die Gleichung
d · dim L = tr(|v〉〈ψ|) = 〈ψ|v〉
Durch Einsetzen von ( ) = d idL rechts in der vorigen Formelzeile erhalten
wir schließlich die Behauptung in Gestalt der Formel
(cϕ,v ∗ ψ)(w) =
〈ϕ|g|v〉〈ψ|g −1 |w〉 = 1
dim L 〈ψ|v〉〈ϕ|w〉
2. Die Dichtheit des Bildes kennen wir bereits aus 10.9.7. Der Nachweis der
behaupteten Orthogonalitäten scheint mir weitgehend aus dem Einführen geeigneter
Notationen zu bestehen. Gegeben ein komplexer Vektorraum V und
ein Vektor v ∈ V notieren wir manchmal ˘v ∈ ¯ V denselben Vektor aufgefaßt
als Element des konjugierten Vektorraums, so daß also gilt λ˘v = ( ¯ λv)˘für alle
λ ∈ C. Gegeben ein Skalarprodukt 〈 , 〉 auf L liefert die Vorschrift ˘v ↦→ 〈v, 〉
eine Identifikation ¯ L ∼ → L ∗ . Unser Skalarprodukt 〈 , 〉 auf L induziert sicher
ein Skalarprodukt 〈 , 〉 auf ¯ L durch die Vorschrift
〈˘v, ˘w〉 = 〈v, w〉
und damit vermittels unserer Identifikation ein Skalarprodukt auf L ∗ und
damit auch Skalarprodukte auf den Tensorprodukten L ∗ ⊗ L und ¯ L ⊗ L. Unter
der kanonischen Abbildung ¯ L ⊗ L ∼ → L ∗ ⊗ L → L 2 (G) geht nun ˘v ⊗ w
auf die Funktion g ↦→ 〈v, gw〉 und ˘v1 ⊗ w1 entsprechend auf die Funktion
g ↦→ 〈v1, gw1〉. Ist nun unser Skalarprodukt G-invariant, so können wir die
erste Funktion umschreiben zu 〈v, gw〉 = 〈g −1 v, w〉 = 〈w, g −1 v〉. Das Skalarprodukt
unserer beiden Funktionen in L 2 (G) ergibt sich also mit elementaren