Analysis

734 KAPITEL V. FUNKTIONENRÄUME UND SYMMETRIEN
aus 3.6.21 und der letzte Teil aus 3.7.5 mit der in 3.7.6 gegebenen Beschreibung
von ΦT .
Übung 3.6.17. Man folgere aus dem Spektralsatz: Ist T : H → H ein selbstadjungierter
Operator auf einem Hilbertraum und (ei)i∈I eine Hilbertbasis
von H aus Eigenvektoren von T , sagen wir mit T ei = λiei, so hat für die
im Sinne von 3.6.11 zugehörige Zerlegung Φ = ΦT der Identität und jede
Borelmenge M ⊂ R der zugehörige Projektor Φ(M) als Bild den Abschluß
der Summe aller Eigenräume zu Eigenwerten aus M, in Formeln
im(Φ(M)) = 〈ei | λi ∈ M〉
Lemma 3.6.18 (Integration nach projektorwertigem Maß, Eigenschaften).
Gegeben (X, M) ein Meßraum, f, g ∈ L ∞ (X) beschränkt und
meßbar, H ein Hilbertraum und Φ : M → B(H) ein projektorwertiges Maß
gilt
1. ¯ fΦ = ( fΦ) ∗
2. fg Φ = ( fΦ) ◦ ( gΦ)
3. fΦ ≤ f∞
Beweis. Das alles ist für Stufenfunktionen leicht explizit zu sehen und folgt
dann durch Grenzübergang im allgemeinen. Die Details können dem Leser
überlassen bleiben. Man beachte, daß in Teil 2 das Produkt der Funktionen
f und g gemeint ist, nicht etwa ihre Verknüpfung.
Übung 3.6.19. Gegeben ein Hilbertraum H mit einer Teilung Φ der Identität
und f beschränkt und meßbar und P ∈ C[X] ein Polynom haben wir
P fΦ = (P ◦ f)Φ
Übung 3.6.20. Seien (X, M) ein Meßraum, f ∈ L∞ (X) beschränkt und meßbar,
H ein Hilbertraum und Φ : M → B(H) eine Teilung der Identität. So
gilt für alle v ∈ H die Abschätzung
fΦ v
≥ (infx∈X |f(x)|) v
Lemma 3.6.21 (Spektrum eines Integrals). Ist Φ eine auf C definierte
kompakt getragene Teilung der Identität eines Hilbertraums H und T =
xΦ〈x〉, so ist σ(T ) das kleinste Kompaktum K ⊂ C mit Φ(K) = idH .