Analysis

4. MANNIGFALTIGKEITEN UND LIEGRUPPEN 871
4.4.2. Die so definierte glatte Mannigfaltigkeit TX wird in der Folge sogar
mit der noch feineren Struktur eines “glatten Vektorraumbündels auf X”
versehen. Mit dieser Struktur heißt sie dann das Tangentialbündel von X.
Beweis. Nach 4.2.6 müssen wir nur zeigen, daß (1) die Finaltopologie in
Bezug auf alle unsere ˆϕ Hausdorff ist und daß (2) die zugehörigen Kartenwechsel
glatt sind. (1) sei dem Leser überlassen, (2) erkennt man wie folgt:
Sind (Wλ, ϕλ) und (Wµ, ϕµ) Karten von X, so ist ˆϕ −1
λ ( ˆϕµ( ˆ Wµ)) = Wλµ × R n
offen in ˆ Wλ und die zugehörigen Kartenwechsel lassen sich in den Notationen
von 4.2.6 mithilfe der Kartenwechsel ϕµλ von X beschreiben durch die Vorschrift
ˆϕµλ : (p, v) ↦→ (ϕµλ(p), (dpϕµλ)(v)) und sind in der Tat Morphismen
von geringten Räumen.
4.4.3. Im vorhergehenden verwenden wir sowohl das Differential dpψ : E → F
im Sinne der Analysis IV.1.2.3 für ψ : U → V eine Abbildung von offenen
Teilmengen reeller Räume U ⊂◦ E und V ⊂◦ F , als auch das Differential dxϕ :
TxX → Tϕ(x)Y nach 4.3.5.
Übung 4.4.4. Für jede glatte Abbildung φ : X → Y von glatten Mannigfaltigkeiten
liefern die Differentiale eine glatte Abbildung
dφ : TX → TY
Ist φ eine Einbettung im Sinne von 4.1.26, so auch dφ.
Übung 4.4.5 (Tangentialbündel eines Produkts). Gegeben glatte Mannigfaltigkeiten
X, Y liefern die Differentiale der Projektionen des Produkts
X × Y auf die Faktoren einen Diffeomorphismus T(X × Y ) ∼ → TX × TY .
Übung 4.4.6 (Tangentialbündel eines affinen Raums). Gegeben E ein
endlichdimensionaler reller Raum und X ⊂◦ E eine offene Teilmenge erhalten
wir einen Diffeomorphismus
can : X × E ∼ → TX
durch die Vorschrift, daß jedem Paar (x, v) dasjenige Element von TxX zugeordnet
wird, das durch die Richtungsableitung bei x in Richtung v gegeben
wird, also durch f ↦→ (Dvf)(x) für alle Funktionskeime f ∈ OX,x. Ist F ein
weiterer endlichdimensionaler reller Raum und Y ⊂◦ F eine offene Teilmenge
und φ : X → Y glatt, so kommutiert mit den eben erklärten kanonischen
Isomorphismen in den Vertikalen das Diagramm
TX
X × E
dφ
TY
Y × F