Analysis

2. FOLGEN UND REIHEN 109
Beispiel 2.1.11. Das kompakte Intervall [0, 1] ist eine Umgebung von jedem
Punkt aus dem offenen Intervall (0, 1), aber von keinem anderen Punkt der
erweiterten reellen Zahlengeraden. Q ist für keinen Punkt der erweiterten
reellen Zahlengeraden eine Umgebung.
2.1.12. Offensichtlich besitzen je zwei verschiedene Punkte der erweiterten reellen
Zahlengeraden zueinander disjunkte Umgebungen, und der Schnitt von
je zwei Umgebungen ein- und desselben Punktes ist wieder eine Umgebung
des besagten Punktes.
Ergänzung 2.1.13. Bei der Vor- und Nachbereitung dieser Vorlesung ist mir
erst richtig klar geworden, welch großer Teil der Diskussion der Begriffe
Grenzwert und Stetigkeit im Rahmen der Analysis einer reellen Veränderlichen
nur die Struktur der reellen Zahlen als angeordnete Menge betrifft.
Die Resultate dieses Abschnitts mit Ausnahme der Beschreibung aller Intervalle
2.1.5 gelten im Übrigen mit unverändertem Beweis auch allgemeiner für
einen beliebigen archimedisch angeordneten Körper und zu einem guten Teil
sogar für einen beliebigen angeordneten Körper.
Definition 2.1.14. Eine Abbildung N → X, n ↦→ xn von den natürlichen
Zahlen in eine Menge X nennen wir eine Folge in X. Wir schreiben eine Folge
meist (xn)n∈N oder x0, x1, x2, . . . oder auch einfach nur xn. Die xi heißen die
Folgenglieder. Manchmal nennen wir allerdings auch Abbildungen Folgen,
die erst ab n = 1 definiert sind.
Definition 2.1.15. Sagen wir, eine Aussage gelte für fast alle Elemente
einer Menge, so soll das bedeuten, daß sie gilt für alle Elemente bis auf
höchstens endlich viele Ausnahmen. Sagen wir, eine Aussage gelte für fast
alle Glieder einer Folge, so soll das bedeuten, daß für fast alle Indizes n
unsere Aussage für das n-te Folgenglied gilt.
Definition 2.1.16. Sei x0, x1, . . . eine Folge in R und x ∈ R ein Punkt.
Wir sagen, die Folge xn konvergiere gegen x genau dann, wenn jede
Umgebung von x fast alle Glieder der Folge enthält. Wir schreiben in diesem
Fall auch
lim
n→∞ xn = x
und nennen x einen Grenzwert oder lateinisierend Limes der Folge. Nach
der im folgenden bewiesenen Eindeutigkeit des Grenzwerts 2.1.21 dürfen wir
uns sogar den bestimmten Artikel erlauben und von dem Grenzwert reden.
Beispiel 2.1.17. Die konstante Folge xn = x ∀n konvergiert gegen x. In
der Tat liegen bei dieser Folge in jeder Umgebung von x nicht nur fast alle,
sondern sogar alle Folgenglieder.