Analysis

5. UNAUSGEGORENES ZUR FUNKTIONENTHEORIE 1435
Nach 5.1.24 sind alle stetigen lokalen Schnitte dieser Überlagerung als Abbildungen
nach C 2 komplex differenzierbar. Die Polynome aus C[T, S] definieren
folglich komplex differenzierbare alias holomorphe Funktionen auf der Riemann’schen
Fläche Z, und das Bild der Inklusion C[T, S]/〈g〉 ↩→ O an (Z)
macht nach ?? von Null verschiedene Elemente des Restklassenrings zu holomorphen
Funktionen mit höchstens endlich vielen Nullstellen. Nach ?? läßt
sich unsere Inklusion folglich zu einem Ringhomomorphismus
Quot(C[T, S]/〈g〉) → M an (Z)
fortsetzen, der nach ?? notwendig injektiv sein muß. Sei nun Z = Z1⊔. . .⊔Zr
die Zerlegung von Z in seine Zusammenhangskomponenten. Da die linke Seite
eine algebraische Körpererweiterung von C(T ) ist, muß unser Ringhomomorphismus
in M(Z1) × . . . × M(Zr) landen. Da dieses Produkt nach dem
bereits bewiesenen Teil der Proposition über C(T ) dieselbe Dimension hat
wie Quot(C[T, S]/〈g〉), ist das Bild unseres Ringhomomorphismus bereits das
ganze besagte Produkt. Es folgt, daß besagtes Produkt ein Körper sein muß,
so daß insbesondere Z bereits zusammenhängend gewesen sein muß und unsere
Körpererweiterung mit M(Z) zusammenfällt.
Satz 5.1.21 (Körpererweiterungen von C(T ) und Topologie). Unsere
Vorschrift M an , die jeder zusammenhängenden Riemann’schen Fläche über
P 1 C den Körper der meromorphen Funktionen auf X zuweist, liefert eine
Äquivalenz von Kategorien
⎧
⎨
⎩
Zusammenhängende verzweigte
Überlagerungen von P 1 C
mit endlicher Blätterzahl
⎛
⎝
X
↓
C
⎞
⎫
⎬
⎭
∼
→
⎠ ↦→
⎧
⎨
⎩
Endliche
Köpererweiterungen
von C(T )
⎛
⎝
M an (X)
∪
C(T )
Beweis. Unser M(X) ändert sich nicht beim Einflicken fehlender Punkte Das
zeigt die Surjektivität auf Objekten. Daß die Automorphismen von Galois-
Überlagerungen den Automorphismen von Körpererweiterungen entspechen,
wissen wir bereits. Im Allgemeinen können wir M(X) und M(Y ) in dieselbe
Galoiserweiterung von C(T ) = M(C) einbetten etc.
Satz 5.1.22. Die Vorschrift X ↦→ M(X) liefert eine kontravariante Äqui-
⎞
⎠
⎫
⎬
⎭
opp