Analysis

1368 KAPITEL VIII. FUNKTIONENTHEORIE
1.8.13. Unter einer holomorphen Einbettung verstehen wir eine holomorphe
Injektion mit offenem Bild. Unter einer punktierten Menge (X, x)
verstehen wir eine Menge X mit einem ausgezeichneten Punkt x ∈ X. Unter
einer Abbildung von punktierten Mengen (X, x) → (Y, y) verstehen wir eine
Abbildung X → Y mit x ↦→ y.
Satz 1.8.14 (Lokale Struktur holomorpher Funktionen). Sei U ⊂◦ C
offen, p ∈ U ein Punkt und f : U → C holomorph. Bezeichne E die offene
Einheitskreisscheibe. So gibt es holomorphe Einbettungen (E, 0) ↩→ (U, p) und
(E, 0) ↩→ (C, f(p)) und ein n ∈ N≥1 ⊔ {∞} derart, daß kommutiert
(U, p)
f
(E, 0) z↦→zn
(C, f(p))
(E, 0)
mit der Interpretation z ∞ = 0 für alle z ∈ E. Durch diese Bedingungen ist
n bereits eindeutig festgelegt und es gilt n = inf{ν ≥ 1 | f (ν) (p) = 0}.
Beweis. Daß es ein derartiges Diagramm höchstens für ein n geben kann, folgt
durch die Beschreibung von n als die maximale Vielfachheit, mit der manche
Funktionswerte noch in beliebig kleinen Umgebungen von p angenommen
werden. Um die Existenz eines derartigen Diagramms zu beweisen, dürfen
wir sicher p = f(p) = 0 annehmen. Ist f konstant, so ist nichts zu zeigen.
Sonst entwickeln wir f in eine Potenzreihe und erhalten
f(z) =
∞
ν=n
aνz ν = z n
∞
ν=0
an+νz ν = z n g(z)
für eine holomorphe Funktion g mit g(0) = 0. Es ist leicht explizit zu sehen,
daß es auf jeder geschlitzten komplexen Zahlenebene C\R≥0w mit w ∈ C ×
für jedes n ≥ 1 mindestens eine holomorphe Funktion z ↦→ n√ z gibt mit
( n√ z) n = z. Indem wir den Definitionsbereich von f zu einer hinreichend
kleinen Kreisscheibe B um den Ursprung verkleinern, dürfen wir annehmen,
daß dieser Definitionsbereich unter g in einer geschlitzten Zahlenebene landet,
so daß wir auf dieser kleinen Kreisscheibe ein holomorphes h(z) = n g(z)
finden mit h(z) n = g(z) ∀z ∈ B. Dann gilt f(z) = (zh(z)) n ∀z ∈ B. Nun
ist z ↦→ zh(z) nach Restriktion zu einer gegebenenfalls noch kleineren Kreisscheibe
um den Ursprung eine holomorphe Einbettung nach dem anschließenden
Lemma 1.8.15, das im übrigen schlicht den Spezialfall n = 1 unseres
Satzes umformuliert. Wir haben also das gewünschte Diagramm konstruiert