Analysis

50 KAPITEL I. ALLGEMEINE GRUNDLAGEN
Definition 2.2.13. Sind schließlich drei Mengen X, Y, Z gegeben und Abbildungen
f : X → Y und g : Y → Z, so definieren wir eine Abbildung
g ◦ f : X → Z, die Verknüpfung der Abbildungen f und g, durch die
Vorschrift
g ◦ f : X → Z
x ↦→ g(f(x))
2.2.14. Die Notation g ◦ f, sprich “g nach f”, für “erst f, dann g” ist gewöhnungsbedürftig,
erklärt sich aber durch die Formel (g ◦ f)(x) = g(f(x)). Ich
sage, g ◦ f entstehe aus g durch Vorschalten von f und g ◦ f entstehe aus
f durch Nachschalten von g. Oft kürzt man auch g ◦ f mit gf ab.
Beispiel 2.2.15. Betrachten wir zusätzlich zum Quadrieren q : Z → Z die
Abbildung t : Z → Z, x ↦→ x + 1, so gilt (q ◦ t)(x) = (x + 1) 2 aber (t ◦ q)(x) =
x 2 + 1. Natürlich gilt (g ◦ f)(A) = g(f(A)) für jede Teilmenge A ⊂ X und
umgekehrt auch (g ◦ f) −1 (C) = f −1 (g −1 (C)) für jede Teilmenge C ⊂ Z.
Definition 2.2.16. Sei f : X → Y eine Abbildung.
1. f heißt injektiv oder eine Injektion genau dann, wenn aus x = x ′
folgt f(x) = f(x ′ ). Gleichbedeutend ist die Forderung, daß es für jedes
y ∈ Y höchstens ein x ∈ X gibt mit f(x) = y. Injektionen schreibt
man oft ↩→.
2. f heißt surjektiv oder eine Surjektion genau dann, wenn es für jedes
y ∈ Y mindestens ein x ∈ X gibt mit f(x) = y. Surjektionen schreibt
man manchmal ↠.
3. f heißt bijektiv oder eine Bijektion genau dann, wenn f injektiv und
surjektiv ist. Gleichbedeutend ist die Forderung, daß es für jedes y ∈ Y
genau ein x ∈ X gibt mit f(x) = y. Bijektionen schreibt man oft ∼ →.
2.2.17. Ist X ⊂ Y eine Teilmenge, so ist die Einbettung oder Inklusion
i : X → Y , x ↦→ x stets injektiv. Ist g : Y → Z eine Abbildung und X ⊂ Y
eine Teilmenge, so nennen wir die Verknüpfung g ◦ i von g mit der Inklusion
auch die Einschränkung von g auf X und notieren sie
g ◦ i =: g|X = g|X : X → Z
Oft bezeichnen wir eine Einschränkung aber auch einfach mit demselben
Buchstaben g in der Hoffnung, daß der Leser aus dem Kontext erschließen
kann, welche Abbildung genau gemeint ist.