Analysis

7. DER SATZ VON STOKES 601
Leser mit entsprechenden Kenntnissen in multilinearer Algebra erkennen das
auf einen Blick, die anderen müssen dumpf rechnen, können dann aber die
Formel zumindest verifizieren. Im Fall X = R n wird für eine Differentialform
der Gestalt ω = aI dxI insbesondere ihre äußere Ableitung dω gegeben
durch die Vorschrift
dω = daI ∧ dxI
Das folgt auch formal aus den allgemeineren Aussagen, die in den drei anschließenden
Lemmata formuliert werden.
Lemma 7.6.6. Sind ω und η differenzierbare Differentialformen auf einer
halboffenen Teilmenge eines endlichdimensionalen reellen Raums, so gilt für
ihr Produkt die Leibniz-Regel
d(ω ∧ η) = (dω) ∧ η + (−1) |ω| ω ∧ dη
Lemma 7.6.7. Sei ω eine Differentialform auf einer halboffenen Teilmenge
eines endlichdimensionalen reellen Raums. Ist ω stetig differenzierbar und
dω auch stetig differenzierbar, so gilt
d(dω) = 0
Lemma 7.6.8. C 2 -verwandte Differentialformen haben verwandte äußere Ableitungen.
Ist genauer und in Formeln φ : A → B eine C 2 -Abbildung zwischen
halboffenen Teilmengen endlichdimensionaler reeller Räume und ω eine differenzierbare
Differentialform auf B, so gilt
d(φ ∗ ω) = φ ∗ (dω)
7.6.9. Wie Sie noch sehen werden, erlauben diese Formeln ein außerordentlich
elegantes Rechnen mit Differentialformen. Der hier gegebene Formalismus
geht auf Élie Cartan’s Arbeiten zu Beginn des zwanzigsten Jahrhunderts zurück.
Die Verträglichkeit des äußeren Differentials mit Verwandtschaft macht
die Umrechnung zwischen verschiedenen Koordinatensystemen so einfach,
daß es auch bei anderen Umrechnungen oft der bequemste Weg ist, sie auf
diesen Formalismus zurückzuführen. Als Beispiel bespreche ich die Umrechnung
des Laplace-Operators in krummlinige Koordinaten in 7.9.17 folgende.
7.6.10. Man kann diese drei Lemmata durch explizite Rechnung in Koordinaten
der Reihe nach beweisen. Mir schien jedoch ein anderes Vorgehen
übersichtlicher, bei dem im Anschluß an einen Beweis des ersten Lemmas
die beiden anderen in einer Art Kaminkletterei abwechselnd in wachsender
Allgemeinheit gezeigt werden. Die letzte Regel 7.6.8 können wir auch
φ : η ❀ ω ⇒ φ : dη ❀ dω schreiben. Der Leser sei ermutigt, sich das im