Analysis

470 KAPITEL IV. FUNKTIONEN MEHRERER VERÄNDERLICHEN
für die a, b ∈ U mit φ(a) = c bzw. φ(b) = d. Da φ ein C 1 -Diffeomorphismus
sein soll, ist φ ′ stetig mit φ ′ = 0 auf U und wir folgern, daß auf U entweder
gilt φ ′ > 0 oder aber φ ′ < 0. Im ersten Fall haben wir a < b und unsere
Transformationsformel steht bereits da. Im zweiten Fall haben wir a > b und
|φ ′ | = −φ ′ und
U
(f ◦ φ) |det dφ| =
a
b
f(φ(x))|φ ′ (x)| dx =
b
a
f(φ(x))φ ′ (x) dx
und sind wieder fertig. Damit ist der Fall n = 1 erledigt. Nehmen wir nun
also an, wir hätten n ≥ 2 und der Satz sei für Integration im R n−1 schon
bewiesen. Wir gehen dann in mehreren Schritten vor.
1. Läßt φ die erste Koordinate unverändert, in Formeln φ1(x1, . . . , xn) = x1,
so folgt unsere Transformationsformel aus der Induktionsvoraussetzung. In
der Tat, betrachten wir die Schnitte Uc = U ∩{x1 = c} und Vc = V ∩{x1 = c}
unserer offenen Mengen mit der Hyperebene x1 = c, so induziert unsere
∼
Abbildung φ für jedes feste c Diffeomorphismen φc : Uc → Vc und es gilt
| det d(x2,...,xn)φc| = | det d(c,x2,...,xn)φ|
Für fc : Vc → R gegeben durch fc(x2, . . . , xn) = f(c, x2, . . . , xn) erhalten wir
also nach der Induktionsvoraussetzung
fc = (fc ◦ φc) |det dφc|
= (f ◦ φ)(c, x2, . . . , xn) |det d(c,x2,...,xn)φ|
Integrieren wir diese Gleichung über alle c, so ergibt sich die Transformationsformel
für die Koordinatentransformation φ.
2. Sind W ψ → U φ → V zwei C 1 -Diffeomorphismen zwischen offenen Teilmengen
des R n , und gilt unsere Transformationsformel für φ und ψ, so gilt sie
auch für φ ◦ ψ. In der Tat erhalten wir
f = (f ◦ φ) |det dφ|
= (f ◦ φ ◦ ψ)(|det dφ| ◦ ψ) |det dψ|
= (f ◦ φ ◦ ψ) |det d(φ ◦ ψ)|
Hier gilt die erste Zeile nach der Transformationsformel für φ angewandt auf
die Funktion f, die zweite nach der Transformationsformel für ψ angewandt
auf die Funktion (f ◦ φ)| det dφ|, und die dritte nach der Kettenregel
dp(φ ◦ ψ) = dψ(p)φ ◦ dpψ