Analysis

848 KAPITEL VI. MANNIGFALTIGKEITEN UND LIEGRUPPEN
W \ H
π
H
iH(H)
Der linke schräge Pfeil ordne jedem Punkt den Schnittpunkt mit H der durch
ihn verlaufenden Ursprungsgeraden zu. Er ist stetig, denn ist λH : W → k
die Linearform, deren Niveaufläche zum Wert Eins gerade H ist, so wird
er gegeben durch die Formel w ↦→ λH(w) −1 w oder im quaternionalen Fall
besser w ↦→ wλH(w) −1 . Er ist nach 3.4.14 sogar final, da er einen Schnitt
besitzt, eben die Einbettung H ↩→ W \ H. Der rechte schräge Pfeil ist final, da
diese Eigenschaft nach 3.4.21 lokal ist in der Basis. Zusammen folgt, daß die
horizontale Bijektion ein Homöomorphismus H ∼ → iH(H) sein muß. Damit
ist PW in der Tat eine Mannigfaltigkeit.
Übung 3.9.5. Sei V ein dreidimensionaler reeller Vektorraum. Wir betrachten
in P(V ) × P(V ) alle Paare bestehend aus einer Halbebene und einer Halbgeraden
auf ihrem Rand, also alle Paare (H, L), für die es v, w ∈ V gibt mit
H = R≥0w + Rv und L = R≥0v. Man zeige, daß die Menge aller derartigen
Paare ein homogener Raum für GL(V ) ist und daß dieser homogene Raum
kompakt ist.
Übung 3.9.6. Man zeige, daß die Gruppe GL(n; R) + aller reellen (n × n)-
Matrizen mit positiver Determinante zusammenhängend ist. Hinweis: Induktion
über n. Aus 3.9.4 folgert man unschwer, daß im Fall n > 1 für den homogenen
Raum R n \0 unserer Gruppe seine Topologie als homogener Raum mit
der offensichtlichen Topologie übereinstimmt, so daß dieser homogene Raum
zusammenhängend ist. Damit müssen wir nach 3.8.4 nur noch zeigen, daß
die Isotropiegruppe eines Punktes zusammenhängend ist.
Übung 3.9.7. Versehen wir R d \0 mit der von R d induzierten Topologie, so
liefert für d > 1 das Anwenden auf einen beliebigen von Null verschiedenen
Vektor eine finale Abbildung SL(d; R) → R d \0. Dasselbe gilt im Komplexen.
3.10 Eigentliche Abbildungen*
Definition 3.10.1. Eine Abbildung von topologischen Räumen X → Y
heißt eigentlich genau dann, wenn sie stetig ist und wenn darüber hinaus
für jeden weiteren Raum Z die erweiterte Abbildung X × Z → Y × Z
abgeschlossen ist. Auf Französisch verwendet man den Begriff propre, auf
Deutsch sagt man alternativ auch universell abgeschlossen.