Analysis

1. KOMPLEXE EXPONENTIALFUNKTION 319
1.5 Komplexe Differenzierbarkeit*
Definition 1.5.1. Sei U ⊂ C eine Teilmenge und p ∈ U ein Punkt. Eine
Funktion f : U → C heißt komplex differenzierbar bei p mit Ableitung
b ∈ C genau dann, wenn p ein Häufungspunkt von U ist und es gilt
f(z) − f(p)
lim
z→p z − p
Wir kürzen diese Aussage ab durch f ′ (p) = b.
1.5.2. Der Grenzwert ist hier im Sinne von II.6.6.8 zu verstehen. Diese Definition
ist fast identisch zu unserer alten Definition II.4.1.3 bis auf das Detail,
daß wir überall statt reeller Zahlen komplexe Zahlen betrachten und, wie
im Komplexen üblich, die Variable mit z bezeichnen. Den Definitionsbereich
unserer Funktion haben wir statt mit I hier mit U bezeichnet, weil der meistgebrauchte
Fall nicht mehr der eines halboffenen Intervalls, sondern vielmehr
der einer offenen Teilmenge der komplexen Zahlenebene ist. Der Fall eines
Intervalls U ⊂ R wird jedoch auch oft vorkommen. In diesem Fall stimmt
die hier definierte Ableitung überein mit der Ableitung im Sinne von II.7.2.1.
Der Rest dieses Abschnitts besteht darin, unsere Resultate zur reellen Differenzierbarkeit
mitsamt ihren Beweisen im Komplexen zu wiederholen.
1.5.3. Ich gebe noch einige alternative Formulierungen an. Ist U ⊂ C eine
Teilmenge und p ein Häufungspunkt von U, so ist nach II.6.6.11 eine Funktion
f : U → C komplex differenzierbar bei p mit Ableitung b ∈ C genau dann,
wenn es eine Funktion ϕ : U → C gibt, die stetig ist bei p mit Funktionswert
ϕ(p) = b derart, daß für alle z ∈ U gilt
= b
f(z) = f(p) + (z − p)ϕ(z)
In anderen nochmals anderen Formeln ist unsere Funktion f : U → C komplex
differenzierbar bei p mit Ableitung b genau dann, wenn gilt
f(p + h) = f(p) + bh + ε(h)h
für eine Funktion ε, die stetig ist bei Null und die dort den Wert Null annimmt.
Hier ist zu verstehen, daß die Funktion ε definiert sein soll auf der
Menge aller h mit h + p ∈ U. Diese Formulierung hat den Vorteil, daß besonders
gut zum Ausdruck kommt, inwiefern für festes p und kleines h der
Ausdruck f(p)+f ′ (p)h eine gute Approximation von f(p+h) ist. Anschaulich
wirkt f lokal um einen gegebenen Punkt p in erster Approximation wie eine
Drehstreckung mit Zentrum in besagtem Punkt, deren Winkel und Streckfaktor
durch f ′ (p) beschrieben werden, gefolgt von einer Verschiebung um
f(p).