Analysis

2. SINGULÄRE STELLEN HOLOMORPHER FUNKTIONEN 1377
Es bleibt also nur die Existenz einer derartigen Entwicklung zu zeigen. Gegeben
w aus unserem Kreisring wählen wir a, A mit r < a < |w| < A < R
und betrachten einen Integrationsweg γ, der auf demselben Strahl wie w beginnend
erst im Gegenuhrzeigersinn die Kreislinie |z| = A halb herumläuft,
dann auf einem Radius zur Kreislinie |z| = a, darauf einmal im Uhrzeigersinn
herum, wieder auf dem Radius zurück nach aussen, und auf der Kreislinie
|z| = A weiter zum Ausgangspunkt. Dieser Weg ist offensichtlich homotop zu
jedem Weg, der vom selben Ausgangspunkt erst ein Stück auf dem Radius
in Richtung w läuft, dann auf einem kleinen Kreisweg im Gegenuhrzeigersinn
um w, um dann wieder auf dem Radius zurück zum Ausgangspunkt. Mit
der Integralformel von Cauchy und der Homotopieinvarianz des Wegintegrals
folgt
f(w) = 1
2πi
γ
f(z) 1
dz =
z − w 2πi |z|=A
f(z) 1
dz −
z − w 2πi |z|=a
f(z)
z − w dz
Das erste dieser Integrale verwandeln wir wie beim Beweis des Potenzreihenentwicklungssatzes
1.7.7 in die Potenzreihe
∞
1
f(z)
dz w
2πi
zk+1 k
k=0
|z|=A
mit Konvergenzradius ≥ A. Das zweite Integral behandeln wir ähnlich, nur
schreiben wir nun, da auf dem Integrationsweg ja |w| > |z| gilt,
−1 1 1
= =
z − w w 1 − (z/w)
1
∞ z
w
k
wk im Sinne gleichmäßiger Konvergenz in z auf dem Kreisring |z| = a und erhalten
∞
−1 f(z) 1
dz = f(z)z
2πi |z|=a z − w 2πi |z|=a
k
dz w −k−1
k=0
zunächst einmal im Sinne punktweiser Konvergenz an jeder Stelle w mit
a < |w| < A. Hier steht nun aber eine Potenzreihe im w −1 , die konvergiert
für |w −1 | < a −1 . Also ist für |w| ≥ a + ε bei beliebigem ε > 0 die Konvergenz
gleichmäßig in w. Das zeigt die Existenz der Entwicklung in eine
Laurentreihe.
2.1.19. Insbesondere können wir jede holomorphe Funktion mit einer isolierten
Singularität im Ursprung in eine Laurentreihe entwickeln. Unsere Funktion
hat einen Pol im Ursprung genau dann, wenn ihre Laurentreihe mindenstens
einen und höchstens endlich viele von Null verschiedene Koeffizienten
k=0