Analysis

2. NAIVE MENGENLEHRE UND KOMBINATORIK 49
Beispiel 2.2.7. Gegeben zwei Mengen X, Y erklärt man die sogenannten
Projektionsabbildungen oder Projektionen pr X : X × Y → X bzw.
pr Y : X × Y → Y durch die Vorschrift (x, y) ↦→ x bzw. (x, y) ↦→ y. In manchen
Zusammenhängen notiert man sie auch abweichend pr 1 und pr 2 für die
“Projektion auf die erste bzw. zweite Komponente”.
Definition 2.2.8. Ist f : X → Y eine Abbildung, so definieren wir ihr Bild
oder genauer ihre Bildmenge, eine Teilmenge im f ⊂ Y , durch
im f := {y ∈ Y | Es gibt x ∈ X mit f(x) = y}
für französisch und englisch image. Eine Abbildung, deren Bild aus höchstens
einem Element besteht, nennen wir eine konstante Abbildung. Eine
Abbildung, deren Bild aus genau einem Element besteht, nennen wir eine
einwertige Abbildung. In anderen Worten ist eine einwertige Abbildung
also eine konstante Abbildung mit nichtleerem Definitionsbereich.
Definition 2.2.9. Ist f : X → Y eine Abbildung und A ⊂ X eine Teilmenge,
so definieren wir das Bild von A unter f, eine Teilmenge f(A) ⊂ Y , durch
f(A) := {y ∈ Y | Es gibt x ∈ A mit f(x) = y}
Beispiel 2.2.10. Per definitionem haben wir für eine Abbildung f : X → Y
stets f(X) = im f. Für unsere Abbildung q : Z → Z, n ↦→ n 2 des Quadrierens
von eben könnten wir die Menge aller Quadratzahlen schreiben als
q(Z) = {a 2 | a ∈ Z}
Ebenso wäre {2a | a ∈ N} eine mögliche formelmäßige Darstellung der Menge
aller geraden natürlichen Zahlen, und {ab | a, b ∈ N, a ≥ 2, b ≥ 2} wäre eine
formelmäßige Darstellung der Menge aller natürlichen Zahlen, die nicht prim
und auch nicht Null oder Eins sind.
2.2.11. Gegeben ein festes c ∈ Y schreiben wir oft auch kurz c für die konstante
Abbildung X → Y , x ↦→ c für alle x ∈ X. Damit verbunden ist die
Hoffnung, daß aus dem Kontext klar wird, ob im Einzelfall die Abbildung
c : X → Y oder das Element c ∈ Y gemeint sind.
Definition 2.2.12. Ist f : X → Y eine Abbildung und B ⊂ Y eine Teilmenge,
so definieren wir ihr Urbild, eine Teilmenge von f −1 (B) ⊂ X, durch
f −1 (B) := {x ∈ X | f(x) ∈ B}
Besteht B nur aus einem Element x, so schreiben wir auch f −1 (x) statt
f −1 ({x}) und nennen diese Menge die Faser von f über x. Das Quadrieren
q aus 2.2.10 hat etwa die Fasern q −1 (1) = {1, −1} und q −1 (−1) = ∅.