Analysis

7. DER SATZ VON STOKES 571
dort definierten p-ten äußeren Potenz p V. Zusätzlich erklären wir in ??
für endlichdimensionales V kanonische Isomorphismen ( p V ) ⊤ ∼ → p(V ⊤ )
zwischen den Dualräumen der äußeren Potenzen und den äußeren Potenzen
des Dualraums und erhalten so zusammen einen kanonischen Isomorphismus
Alt p ∼
V → p ⊤ (V ).
7.1.5. Sind Linearformen f1, . . . , fn ∈ V ⊤ gegeben und ist I ⊂ {1, . . . , n}
eine Teilmenge mit p Elementen, so setzen wir
fI := alt(fi1, . . . , fip) ∈ Alt p V
für i1 < . . . < ip die der Größe nach gereihten Elemente von I. Für I = ∅
vereinbaren wir f∅ = 1.
Proposition 7.1.6 (Basis des Raums der p-Formen). Ist V ein Vektorraum
und f1, . . . , fn eine Basis von V ⊤ , so bilden die fI aus 7.1.5 mit |I| = p
eine Basis von Alt p V.
Beweis. Ist v1, . . . , vn die duale Basis von V und ist auch J = {j1, . . . , jp} ⊂
{1, . . . , n} gegeben mit j1 < . . . < jp, so gilt offensichtlich
fI(vj1, . . . , vjp) =
1 I = J;
0 sonst.
Das zeigt die lineare Unabhängigkeit der fI. Andererseits ist klar, daß eine
alternierende Multilinearform schon festgelegt wird durch ihre Werte auf den
p-Tupeln (vj1, . . . , vjp) mit j1 < . . . < jp. Das zeigt, daß die fI auch Alt p V
erzeugen.
7.1.7. Im Vorgriff auf unsere zukünftige Notation f1∧. . .∧fp für alt(f1, . . . , fp)
wäre im Fall eines vierdimensionalen Vektorraums V mit einer Basis f1, . . . , f4
seines Dualraums also Alt 2 V ein Raum der Dimension 6 mit Basis f1 ∧ f2,
f1 ∧ f3, f1 ∧ f4, f2 ∧ f3, f2 ∧ f4, f3 ∧ f4.
Proposition 7.1.8. Seien k ein Körper, V ein k-Vektorraum endlicher Dimension
und p, q ≥ 0. So gibt es genau eine bilineare Abbildung, das Dachprodukt
Alt p V × Alt q V → Alt p+q V
(ω , η) ↦→ ω ∧ η
derart, daß für alle f1, . . . , fp+q ∈ V ⊤ gilt
alt(f1, . . . , fp) ∧ alt(fp+1, . . . , fp+q) = alt(f1, . . . , fp, fp+1, . . . , fp+q)