Analysis

450 KAPITEL IV. FUNKTIONEN MEHRERER VERÄNDERLICHEN
In dieser Sprache ausgedrückt kann also ein System von m Gleichungen in
m + n Unbekannten im allgemeinen “lokal” in der Weise aufgelöst werden,
daß wir n der Unbekannten frei wählen und die restlichen m Unbekannten
dadurch dann im Wesentlichen eindeutig festgelegt werden.
Beispiel 4.2.11. Wir betrachten f : R × R → R, f(z, x) = z2 + x2 und
(c, a) = (0, 1). Da ∂f
nicht verschwindet bei (0, 1), sind die Voraussetzungen
∂x
des Satzes erfüllt. Ein mögliches Tripel bestünde aus C1 = (−1, 1), A1 =
(0, ∞) und g(z) = √ 1 − z2 . Unsere implizite Funktion sucht sich in diesem
Fall für jedes z ∈ (−1, 1) dasjenige positive x = g(z) aus, für das der Punkt
(z, x) auf dem Einheitskreis liegt. Die Ableitung dieser impliziten Funktion
ergibt sich mit unserer Regel richtig zu
∂g
∂z
= −
−1
∂f ∂f
= −
∂x ∂z
2z
2x
z
= −√
1 − z2 Beispiel 4.2.12. Wir betrachten f : R2 × R → R, f(z, w, x) = z2 + w2 + x2 und (c, a) = (0, 0, 1). Um Indizes zu vermeiden, haben wir hier die Parameter
mit (z, w) statt mit (z1, z2) bezeichnet. Da ∂f
nicht verschwindet bei (0, 0, 1),
∂x
sind die Voraussetzungen des Satzes erfüllt. Ein mögliches Tripel bestünde
aus C1 der offenen Einheitskreisscheibe in der zw-Ebene, A1 = (0, ∞) und
g(z, w) = √ 1 − z2 − w2 . Anschaulich wählt unsere implizite Funktion für
jedes Paar (z, w) aus der offenen Einheitskreisscheibe das positive x aus, für
das der Punkt (z, w, x) auf der Einheitssphäre liegt.
Beispiel 4.2.13. Wir betrachten das Gleichungssystem
ζξ + ζv − ξu 2 = 1
ζu 3 + 3ζu − uv = 3
Es ist etwa erfüllt für (ζ, ξ, u, v) = (1, 1, 1, 1). Wenn man nun ζ und ξ ein
bißchen ändert, kann man dann stets u und v so anpassen, daß unser Gleichungssystem
erfüllt bleibt? Der Satz über implizite Funktionen liefert genau
diese Aussage, man muß dazu nur prüfen, daß die (2 × 2)-Matrix der partiellen
Ableitungen der beiden Gleichungen unseres Systems nach u und v bei
(1, 1, 1, 1) invertierbar ist. Genauer erhält man hier die Matrix
0
@
−2 1
5 −1
und damit implizite Funktionen u(ζ, ξ) und v(ζ, ξ), die in einer Umgebung
von (1, 1) definiert sind und die dort jeweils den Wert 1 annehmen. Man
beachte jedoch die Verschiebung der Notation: Unser (ζ, ξ) hier entspricht
1
A