Analysis

1374 KAPITEL VIII. FUNKTIONENTHEORIE
wie der Leser zur Übung zeigen mag. Ich verwende die Bezeichnung M an ,
um diese “analytischen” Funktionen zu unterscheiden von ihren algebraischen
Analoga, den rationalen Funktionen auf einer irreduziblen algebraischen Varietät
U, die ich später einmal M(U) notieren will.
Ergänzende Übung 2.1.11. Jede rationale Funktion f ∈ C(T ) im Sinne von
?? liefert eine meromorphe Funktion f : C → C ⊔ {∞}, wenn wir ihr an
allen Polstellen im Sinne von ?? den Wert ∞ zuweisen. Man zeige, daß das
Bild der so erklärten Einbettung C(T ) ↩→ M an (C) genau aus allen meromorphen
Funktionen f : C → C ⊔ {∞} besteht, für die es ein N ≥ 1 gibt mit
lim|z|→∞ f(z)/z N = 0. Hinweis: 2.1.3.
Satz 2.1.12 (Casaroti-Weierstraß). Besitzt eine holomorphe Funktion an
einer Stelle eine wesentliche Singularität, so ist ihr Bild eine dichte Teilmenge
der komplexen Zahlen.
2.1.13. Natürlich besitzt auch die Einschränkung unserer Funktion auf eine
beliebige Umgebung dieser wesentlichen Singularität dort eine wesentliche
Singularität, das Bild jeder Umgebung der singulären Stelle ist also dicht
in der komplexen Zahlenebene. Der Satz von Picard sagt sogar stärker, daß
jedes dieser Bilder alle komplexen Zahlen bis auf höchstens eine Ausnahme
enthalten muß.
Beweis. Sei f : U\p → C unsere Funktion und p die Singularität. Wäre
f(U\p) nicht dicht, so gäbe es eine offene Kreisscheibe B(w; ε) außerhalb des
Bildes. Dann wäre (f(z)−w) −1 beschränkt und holomorph auf U\p, ließe sich
also nach dem Hebbarkeitssatz 2.1.3 zu einer holomorphen Funktion h auf U
fortsetzen, und h hätte keine Nullstelle auf U\p. Also wäre unsere Funktion
f(z) = h(z) −1 + w meromorph auf U.
Übung 2.1.14. Man zeige: Besitzt eine holomorphe Funktion an einer Stelle
eine wesentliche Singularität, so besitzt sie mindestens eine unendliche Faser.
Hinweis: Man kombiniere den Satz von der Gebietstreue 1.8.16 mit Casaroti-
Weierstraß 2.1.12 und dem Baire’schen Kategoriensatz V.3.2.7 oder besser
seinem Korollar V.3.2.10. Noch stärker zeigen dieselben Methoden, daß die
Werte, die unendlich oft angenommen werden, sogar eine dichte Teilmenge
von C bilden.
Übung 2.1.15. Man zeige, dass jede holomorphe injektive Abbildung f : C →
C von der Gestalt z ↦→ az + b ist für a ∈ C × , b ∈ C. Hinweis: Potenzreihenenentwicklung
und Casroti-Weierstraß 2.1.14.