Analysis

150 KAPITEL II. FUNKTIONEN EINER VERÄNDERLICHEN
Erster Beweis. Wir dürfen ohne Beschränkung der Allgemeinheit f(a) ≤
f(b) annehmen. Gegeben z ∈ [f(a), f(b)] suchen wir p ∈ [a, b] mit f(p) = z.
Wir betrachten dazu
p = sup{x ∈ [a, b] | f(x) ≤ z}
und behaupten f(p) = z. Um das zu zeigen führen wir die Annahmen f(p) <
z und z < f(p) beide zum Widerspruch: Aus f(p) < z folgte zunächst p < b,
und dann gäbe es aufgrund der Stetigkeit ein p ′ mit p < p ′ < b und f(p ′ ) ≤ z
und p wäre gar keine obere Schranke unserer Menge gewesen. Aus z < f(p)
folgte zunächst a < p, und dann gäbe es aufgrund der Stetigkeit ein p ′ mit
a < p ′ < p und z < f(x) für alle x ∈ [p ′ , p]. Also wäre auch p ′ schon
eine obere Schranke unserer Menge und p könnte nicht ihre kleinste obere
Schranke gewesen sein.
Zweiter Beweis für den Fall a, b ∈ R. Wir dürfen ohne Beschränkung der Allgemeinheit
f(a) ≤ f(b) annehmen. Gegeben z ∈ [f(a), f(b)] suchen wir
p ∈ [a, b] mit f(p) = z. Dazu nehmen wir den Mittelpunkt m0 unseres Intervalls
her und werten unsere Funktion dort aus. Gilt f(m0) ≥ z, so setzen
wir a1 = a und b1 = m0. Sonst setzen wir a1 = m0 und b1 = b. In jedem
Fall gilt f(a1) ≤ z ≤ f(b1). Anschließend nehmen wir den Mittelpunkt m1
des nur noch halb so großen Intervalls [a1, b1] her und verfahren genauso.
Auf diese Weise erhalten wir eine monoton wachsende Folge a = a0, a1, . . .
und eine monoton fallende Folge b = b0, b1, . . . mit bn − an = 2−n (b − a) und
f(an) ≤ z ≤ f(bn) und für alle n. Unsere beiden Folgen müssen also konvergieren,
und zwar gegen denselben Grenzwert p ∈ [a, b]. Aus der Stetigkeit
von f und der Erhaltung von Ungleichungen im Grenzwert nach 3.3.18 folgt
dann
f(p) = lim f(an) ≤ z ≤ lim f(bn) = f(p)
n→∞ n→∞
und damit z = f(p) wie gewünscht. Dieser Beweis hat den Nachteil, nur für
a, b ∈ R zu funktionieren und bereits im Vorgriff die in diesem Text erst in
3.3.18 bewiesenen Sätze über die Vertauschbarkeit von Grenzwertbildung und
dem Anwenden stetiger Funktionen zu verwenden. Dafür hat er den Vorteil,
einen auch in der Praxis gangbaren Lösungsalgorithmus zu beschreiben, das
sogenannte Intervallhalbierungsverfahren.
Korollar 3.2.7 (Abstrakter Zwischenwertsatz). Das Bild eines Intervalls
unter einer stetigen Funktion ist ein Intervall. Ist also in Formeln I ⊂ R
ein Intervall und f : I → R stetig, so ist auch f(I) ein Intervall.
Beweis. Das folgt sofort aus 3.2.6.