Analysis

3. VERSCHIEDENE WEITERFÜHRENDE RESULTATE 1401
Übung 3.2.8 (Alternierende Summe der (z −k) −1 ). Für alle nicht ganzen
komplexen Zahlen z ∈ C\Z gilt
1
z +
∞
(−1) k
k=1
1 1
+ =
z − k z + k
π
sin(πz)
Hinweis: Man addiere die alternierende und die nicht alternierende Summe.
Übung 3.2.9. Man zeige für alle natürlichen Zahlen n ≥ 0 die Relation
(−1) k (2k + 1) −2n−1 ∈ Qπ 2n+1
k≥0
Hinweis: Den Fall n = 0 hatten wir bereits in II.7.6.16 behandelt. Für den
allgemeinen Fall leite man die Identität 3.2.8 ab und werte bei z = 1/2 aus.
Speziell zeige man im Fall n = 1 die Formel
1 − 1 1 1 π3
+ − + . . . =
33 53 73 32
3.3 Produktentwicklung des Sinus
Satz 3.3.1 (Produktentwicklung des Sinus). Der Sinus läßt sich im
Sinne der kompakten Konvergenz der partiellen Produkte darstellen als das
unendliche Produkt
sin z = z
∞
k=1
1 − z
1 +
πk
z
πk
Beweis. Nach 3.3.5 und 1.7.5 definiert die rechte Seite eine holomorphe Funktion
auf ganz C mit einfachen Nullstellen an allen ganzzahligen Vielfachen
von π und keinen weiteren Nullstellen. Ihr Quotient nach dem Sinus ist nach
dem gleich anschließenden Lemma 3.3.6 also von der Gestalt exp(h(z)) für
h : C → C holomorph. Dann bilden wir auf beiden Seiten die logarithmische
Ableitung im Sinne von 2.3.1. Sie vertauscht auf C\Zπ mit dem Grenzübergang.
Wir finden mit 3.2.4 dann, daß h konstant ist. Teilen wir nun beide
Seiten durch z und setzen z = 0, so erkennen wir, daß h sogar identisch
verschwindet.
3.3.2. Setzen wir hier speziell z = π/2, so ergibt sich die sogenannte Wallis’sche
Produktformel
π
2
2 · 2 4 · 4 (2n)(2n)
= lim · · · ·
n→∞ 1 · 3 3 · 5 (2n − 1)(2n + 1)