Analysis

11. ALLGEMEINE STETIGE DARSTELLUNGEN 1069
11 Allgemeine stetige Darstellungen
11.1 Topologische Algebra
Definition 11.1.1. Eine topologische Gruppe ist wie bereits in 3.7.1
erklärt eine Gruppe G mit einer Topologie derart, daß die Verknüpfung
G × G → G und die Inversenabbildung G → G stetig sind.
Definition 11.1.2. Ein topologischer Ring ist ein Ring k mit einer Topologie
derart, daß die Addition und die Multiplikation als Abbildungen
k × k → k stetig sind.
Definition 11.1.3. Ein topologischer Modul über einem topologischen
Ring k ist ein k-Modul M mit einer Topologie derart, daß die Addition M ×
M → M und die Multiplikation k × M → M stetig sind. Die Kategorie aller
topologischen k-Moduln notieren wir Modtok.
Definition 11.1.4. Ein topologischer Körper ist wie in ?? ein Körper k
mit einer Topologie derart, daß die Addition und die Multiplikation stetig
sind als Abbildungen k × k → k sowie, für die auf k × induzierte Topologie,
auch das Bilden des Inversen k × → k × .
Definition 11.1.5. Ein topologischer Modul über einem topologischen Körper
heißt ein topologischer Vektorraum. Die Kategorie aller komplexen
topologischen Vektorräume bezeichnen wir abkürzend mit ModtoC = Modto.
Ergänzung 11.1.6. Es scheint in der Funktionalanalysis üblich, von einem
topologischen Vektorraum zusätzlich noch die Hausdorff-Eigenschaft zu fordern.
Ich schließe mich dieser Konvention nicht an.
Ergänzung 11.1.7. In der vollen Allgemeinheit dieser Definitionen ist nicht
klar und im allgemeinen auch nicht richtig, daß die Einheiten offene Teilmengen
bilden.
11.1.8. Jeder topologische Modul und jeder topologische Ring sind topologische
Gruppen für ihre additive Struktur, da in diesen Fällen ja das Bilden
des Inversen gerade die Multiplikation mit −1 ist. Gegeben ein topologischer
Körper ist seine multiplikative Gruppe eine topologische Gruppe.
Beispiele 11.1.9. Die reellen und die komplexen Zahlen R und C werden
mit ihrer natürlichen Topologie topologische Körper. Jeder normierte Vektorraum
über R oder C wird mit seiner metrischen Topologie ein topologischer
Vektorraum. In der Zahlentheorie interessiert man sich allgemeiner für lokal
kompakte Hausdorff’sche topologische Körper, die sogenannten “lokalen Körper”.
Wir diskutieren ihre Klassifikation in ??. Typische Beispiele sind neben
R und C die p-adischen Zahlen Qp.