Analysis

1310 KAPITEL VII. MIST UND VERSUCHE
ϕ(x, y) = (x, y, 1 − x 2 − y 2 ) und erklären die Orientierung durch die Bedingung,
daß (W, ϕ) eine positiv orientierte Karte sein möge. Wir finden
ϕ ∗ (dx) = d(x ◦ ϕ) = dx und
ϕ ∗ (dz) = d(z ◦ ϕ) = d( 1 − x 2 − y 2 ) =
Zusammen ergibt sich also ϕ ∗ ω =
H
ω =
W
−x dx
1 − x2 − y2 +
−y dy
1 − x2 − y2 −y2 √ dx ∧ dy und mit IV.7.5.1 weiter
1−x2−y2 −y2 dx dy
1 − x2 − y2 Um dieses Integral auszuwerten gehen wir zu Polarkoordinaten über und
erhalten
2π 1
−r
ω =
2 sin2 2π
ϑ
√ r dr dϑ = sin
1 − r2 0
2 1
−r
ϑ dϑ
0
3
√
1 − r2 dr
H
0
0
Das erste Integral in diesem Produkt lösen wir mithilfe der Formel sin2 (ϑ) =
1 1 − cos(2ϑ) und erhalten
2 2
2π
sin 2 (ϑ) dϑ = 1 1
ϑ −
2 4 sin(2ϑ)
2π
= π
0
Um das zweite Integral zu lösen erinnern wir uns daran, daß die Ableitung von
√ 1 − r 2 gerade −r/ √ 1 − r 2 liefert, und erhalten mit partieller Integration
1
0
r 2 · −r
√
1 − r2 dr = r2√1 − r2
= −
1
0
1
0
−
√ 1 − u du = −
so daß sich unser Integral insgesamt ergibt zu
ω = − 2
3 π
H
1
0
1
0
0
2r √ 1 − r 2 dr
√ v dv = − 2
3
Alternativ hätten wir auch aus der oberen Hemisphäre einen Längengrad
samt Nordpol herausnehmen können und für den Rest die Karte ψ : (0, 1) ×
(0, 2π) → H mit ψ(r, ϑ) = (r cos ϑ, r sin ϑ, √ 1 − r 2 ) wählen können. Der Kartenwechsel
ϕ −1 ◦ ψ ist genau die Polarkoordinatenabbildung und hat positive
Funktionaldeterminante, also ist ψ auch eine positiv orientierte Karte von H.
Wir finden ψ ∗ dx = d(r cos ϑ) = cos ϑ dr − r sin ϑ dϑ, ψ ∗ dz = d( √ 1 − r 2 ) =
−r
√ 1−r 2 dr,
ψ ∗ ω = (r sin ϑ) ·
r
√ · (−r sin ϑ) dr ∧ dϑ
1 − r2 und landen auf einem anderen Weg bei demselben Integral wie zuvor.