Analysis

70 KAPITEL I. ALLGEMEINE GRUNDLAGEN
Konvention 3.2.11, schließlich handelt es sich um die Gruppe der invertierbaren
Elemente des Monoids Ens(X). Ihre Elemente heißen die Permutationen
von X. Die Gruppe der Permutationen einer Menge X ist für |X| > 2
nicht kommutativ. Das Inverse einer Bijektion ist ihre Umkehrabbildung.
Übung 3.2.13 (Kürzen in Gruppen). Sind a, b, c Elemente einer Gruppe,
so folgt aus a⊤b = a⊤c bereits b = c. Ebenso folgt aus b⊤a = c⊤a bereits
b = c. Dasselbe gilt allgemeiner in einem beliebigen Monoid, wenn wir a
invertierbar annehmen.
Ergänzende Übung 3.2.14. Sei A ein Monoid und e sein neutrales Element.
Man zeige: Unser Monoid ist genau dann eine Gruppe, wenn es für jedes
a ∈ A ein ā ∈ A gibt mit ā⊤a = e, und dies Element ā ist dann notwendig das
Inverse von a in A. Noch Mutigere zeigen: Ist A eine Menge mit assoziativer
Verknüpfung und existiert ein e ∈ A mit e⊤a = a ∀a ∈ A sowie für jedes
a ∈ A ein ā ∈ A mit ā⊤a = e, so ist A eine Gruppe.
Ergänzende Übung 3.2.15. Gegeben eine Menge X ist ihre Potenzmenge
P(X) mit der Verknüpfung A + B := (A ∪ B)\(A ∩ B) eine abelsche Gruppe.
3.3 Homomorphismen
Definition 3.3.1. Eine Menge mit einer völlig beliebigen, nicht notwendig
assoziativen Verknüpfung heißt auch ein Magma. Gegeben Magmas (H, ⊤)
und (G, ⊥) verstehen wir unter einem Homomorphismus von Mengen
mit Verknüpfung oder auch Homomorphismus von Magmas von H
nach G eine Abbildung ϕ : H → G derart, daß gilt ϕ(x⊤y) = ϕ(x) ⊥ ϕ(y)
für alle x, y ∈ H. Die Menge aller solchen Homomorphismen bezeichnen wir
mit
Mag(H, G)
Beispiel 3.3.2. Sei X eine Menge P(X) ihre Potenzmenge. Wir betrachten
auf P(X) die Verknüpfung (A, B) ↦→ A\B. Ist X ↩→ Y eine Injektion, so ist
die auf den Potenzmengen induzierte Abbildung ein Homomorphismus von
Magmas
(P(X), \) → (P(Y ), \)
Definition 3.3.3. Sind unsere beiden Mengen mit Verknüpfung Monoide,
so verstehen wir unter einem Monoidhomomorphismus einen Homomorphismus
von Mengen mit Verknüpfung, der das neutrale Element auf das
neutrale Element abbildet. Gegeben Monoide H und G bezeichnen wir die
Menge aller Monoidhomomorphismen von H nach G mit
Mon(H, G)