Analysis

1378 KAPITEL VIII. FUNKTIONENTHEORIE
vor negativen Potenzen von z stehen hat. Allgemeiner folgt unmittelbar, daß
wir jede holomorphe Funktion mit einer isolierten Singularität bei w in einer
Umgebung von w in eine Reihe der Gestalt
f(z) =
ck(z − w) k
k∈Z
entwickeln können. Diese Darstellung heißt dann auch die Laurententwicklung
bei w.
Übung 2.1.20. Die Entwicklung in eine Laurentreihe liefert für jede zusammenhängende
offene Umgebung U ⊂◦ C des Ursprungs in der komplexen Zahlenebene
einen Körperhomomorphismus
M an (U) → C((z))
vom Körper der meromorphen Funktionen auf U in den Ring der formalen
Laurentreihen C((z)) aus ??.
Übung 2.1.21. Man gebe eine meromorphe Funktion auf C an, die C surjektiv
auf C ⊔ {∞} abbildet.
2.2 Umlaufzahl und Residuensatz
Satz 2.2.1 (zur Umlaufzahl). Jeder geschlossene Weg in der punktierten
Ebene C × ist für genau ein n ∈ Z frei homotop zu dem geschlossenen Weg,
der gegeben wird durch die Vorschrift [0, 1] → C × , t ↦→ e 2πint .
2.2.2. Anschaulich beschreibt für n ≥ 1 die Abbildung [0, 1] → C × , t ↦→
e 2πint einen Weg, der vom Punkt 1 ausgehend mit konstanter absoluter Geschwindigkeit
n-mal im Gegenuhrzeigersinn auf dem Einheitskreis umläuft;
für n ≤ −1 ist es der Weg, der (−n)-mal im Uhrzeigersinn umläuft; und für
n = 0 haben wir den konstanten Weg vor uns, der schlicht auf dem Punkt 1
sitzenbleibt.
Definition 2.2.3. Die ganze Zahl n ∈ Z aus 2.2.1 heißt die Umlaufzahl
oder auch Windungszahl des geschlossenen Weges γ um den Urspung. Analog
definiert man die Windungszahl eines geschlossenen Weges γ um jeden
Punkt w der komplexen Zahlenebene, der nicht auf dem Bild des Weges liegt.
Wir notieren sie
Um(γ, w)