Analysis

7. DER SATZ VON STOKES 619
∇ · F = div f, zu verstehen als symbolisches Skalarprodukt des Nabla-Vektors
mit einer vektorwertigen Funktion; das Skalarprodukt wird von
diesen Anwendern meist v · w notiert statt wie bei uns 〈v, w〉;
∇ × F = rot F, zu verstehen als symbolisches Vektorprodukt des Nabla-Vektors
mit einer vektorwertigen Funktion, wo eben das Vektorprodukt
v × w = (v2w3 − v3w2, v3w1 − v1 − w3, v1w2 − v2w1) aus der Geometrie
des Raums ?? zugrundegelegt wird.
In dieser Notation wird dann unsere Formel ddω = 0 für ω eine Funktion
bzw. eine 1-Form auf dem R 3 verstanden als formal-symbolische Konsequenz
der Formeln v × v = 0 bzw. v · (v × w) = 0 aus der Geometrie des Raums.
Beispiel 7.8.16 (Green’sche Formel). Sei G ⊂ R 2 eine kompakte glatt
berandete Teilmenge und ϕ : [a, b] → R 2 eine orientierte Parametrisierung
ihres Randes, anschaulich “ein im Gegenuhrzeigersinn auf dem Rand umlaufender
geschlossener Weg”. Gegeben ein stetig differenzierbares Vektorfeld
v = (v1, v2) auf einer offenen Umgebung von G betrachten wir die 1-Form
〈v, 〉 = η = v1 dx1 + v2 dx2 mit ihrem Differential dη = (rot v) dx1 ∧ dx2 für
∂v2
rot v =
∂x1
− ∂v1
∂x2
die in 3.6.12 erklärte skalare Rotation eines Vektorfelds in der Ebene, und
der allgemeine Satz von Stokes 7.8.1 spezialisiert zur Green’schen Formel
G
rot v =
b
a
v · dϕ
7.8.17. Dieselbe Formel hatten wir in 3.6.18 schon für G ein Rechteck kennengelernt,
nur ist ein Rechteck natürlich nicht glatt berandet. In 7.8.24 werden
wir jedoch einen “Satz von Stokes mit Ecken” kennenlernen, der dann auch
diese Formel für Rechtecke als Spezialfall enthält.
Beispiel 7.8.18 (Fläche eines ebenen Gebiets). Sei G ⊂ R 2 wie in 7.8.16
eine kompakte glatt berandete Teilmenge und ϕ : [a, b] → R 2 eine orientierte
Parametrisierung ihres Randes. Betrachten wir die 2-Form ω = x dy
mit Differential dω = dx ∧ dy und ϕ ∗ ω = ϕ1(t)ϕ ′ 2(t) dt, so spezialisiert der
allgemeine Satz von Stokes 7.8.1 zu einer Formel für die Fläche des Gebietes
G, genauer zu der Regel
G
1 =
b
a
ϕ1(t)ϕ ′ 2(t) dt