Analysis

8. WURZELSYSTEME 1029
Beweis. Es reicht zu zeigen, daß es höchstens eine maximale Wurzel gibt.
Sicher gibt es überhaupt eine maximale Wurzel γ. Sicher gilt γ ∈ R + . Sicher
gilt sogar 〈γ, β∨ 〉 ≥ 0 ∀β ∈ R + , sonst hätten wir ja sβ(γ) > γ. Ist Π die in
R + enthaltene Basis von R und schreiben wir
γ =
nαα
α∈Π
so folgt 〈α, β ∨ 〉 = 0 für alle α ∈ Π mit nα = 0 und β ∈ Π mit nβ = 0.
Da wir unser Wurzelsystem unzerlegbar angenommen hatten, folgt sofort
nα > 0 ∀α ∈ Π. Ist κ = mαα eine weitere maximale Wurzel, so folgt
κ ∨ = lαα ∨ mit lα > 0 für alle α ∈ Π und damit 〈γ, κ ∨ 〉 = lα〈γ, α ∨ 〉 > 0
und
sκ(γ) = γ − 〈γ, κ ∨ 〉κ
ist auch eine Wurzel. Nehmen wir zusätzlich γ = κ an, so ist nach unseren
Erkenntnissen über Paare von Wurzeln dann auch γ − κ eine Wurzel. Ist sie
positiv, so war κ nicht maximal. Ist sie negativ, so war γ nicht maximal. In
jedem Fall erhalten wir einen Widerspruch und es folgt γ = κ.
Satz 8.4.6 (Wände des fundamentalen dominanten Alkoven). Gegeben
ein unzerlegbares Wurzelsystem über einem angeordneten Körper mit
einem ausgezeichneten System positiver Wurzeln hat der fundamentale dominante
Alkoven seiner affinen Weylgruppe im Sinne von 8.3.12 zusätzlich
zu den Wänden der dominanten Weylkammer nur noch eine weitere Wand,
und diese zusätzliche Wand besteht aus den Punkten, auf denen die höchste
Kowurzel den Wert Eins annimmt.
8.4.7. Mit der höchsten Kowurzel meinen wir die höchste Wurzel des dualen
Wurzelsystems in Bezug auf das durch die Kowurzeln unserer positiven
Wurzeln bestimmte System positiver Wurzeln darin. Wir meinen nicht die
Kowurzel zur höchsten Wurzel.
Beweis. Die Spiegelebenen der affinen Weylgruppe sind ja gerade die Punkte,
auf denen eine Kowurzel einen ganzzahligen Wert annimmt. Nehmen an einer
Stelle alle einfachen Kowurzeln positive Werte an und die höchste Kowurzel
einen Wert kleiner als Eins, so nehmen dort alle Kowurzeln einen Wert zwischen
Null und Eins an. Der Rest des Arguments kann dem Leser überlassen
bleiben.
8.4.8. Die Bilder auf Seite 1006 zeigen die Coxetergraphen der affinen Weylgruppen
aller unzerlegbaren Wurzelsysteme.