Analysis

3. ERGÄNZUNGEN ZUR TOPOLOGIE 833
SkriptenBilder/BildMob.png
Versuch einer graphischen Darstellung unserer Konstruktion des
Möbiusbands. Der besseren Vorstellung halber habe ich hier das Rechteck
[0, 5] × [−1, 1] gezeichnet und die Identifikationsvorschrift für die
senkrechten Kanten durch mit = bezeichnete Linien beispielhaft angedeutet.
SkriptenBilder/BildKrH.png
Man erhält eine stetige Abbildung des Möbiusbands nach R 3 ∼ = C × R
vermittels der Formel (t, τ) ↦→ (τ e π i t , √ 1 − τ 2 cos 2 πt). Anschaulich
gesprochen verbindet man je zwei gegenüberliegende Punkte des
Einheitskreises durch einen Bogen mit variierender mittlerer Höhe. Das Bild
ist eine sich selbst durchdringende räumliche Fläche, bei der man sich die
Selbstdurchdringung leicht wegdenken kann. Man nennt sie auch die
Kreuzhaube. In dieser Anschauung für das Möbiusband bezahlt man in
gewisser Weise mit der Selbstdurchdringung für die gute Sichtbarkeit des
Randkreises.