Analysis

1112 KAPITEL VI. MANNIGFALTIGKEITEN UND LIEGRUPPEN
12 Unitäre Darstellungen
12.1 Irreduzible unitäre Darstellungen von SL(2; R)
Satz 12.1.1. Die isotypischen Komponenten unter K = SO(2) einer irreduziblen
unitären Darstellung von G = SL(2; R) sind höchstens eindimensional.
12.1.2. Der Beweis braucht einige Vorbereitungen und wird erst gegen Ende
dieses Abschnitts gegeben.
Satz 12.1.3 (Schur’sches Lemma für unitäre Darstellungen). Alle
Endomorphismen einer irreduziblen unitären Darstellung sind Skalare.
12.1.4. Für diesen und den nächsten Satz werden keinerlei Voraussetzungen
an die dargestellte Gruppe benötigt, die man also auch einfach als diskret
annehmen kann.
Beweis. Sei G die dargestellte Gruppe und H unsere irreduzible unitäre Darstellung.
Mit einem Endomorphismus B : H → H unserer Darstellung sind
auch die mit seinem Adjungierten B ∗ gebildeten Operatoren (B + B ∗ )/2 und
(B − B ∗ )/2 i Endomorphismen unserer Darstellung H. Sie sind darüberhinaus
selbstadjungiert. Besteht das Spektrum von (B + B ∗ )/2 nicht nur aus
einem Punkt, so liefern nach dem Spektralsatz V.3.6.11.3 die Projektoren
zu (−∞, a] und zu (a, ∞) für geeignetes a ∈ R eine “verallgemeinerte Eigenraumzerlegung”
von H in zwei von Null verschiedene orthogonale und Ginvariante
Teilräume. Dasselbe gilt für (B − B ∗ )/2 i. Da wir unsere Darstellung
irreduzibel angenommen hatten, müssen diese selbstadjungierten Operatoren
beide ein einpunktiges Spektrum haben. Nach V.3.4.8 werden sie
dann gegeben durch die Multiplikation mit reellen Skalaren, und damit ist
notwendig B selbst ein komplexer Skalar.
Korollar 12.1.5 (Dichtesatz für unitäre Darstellungen). Sei H eine
irreduzible unitäre Darstellung einer Gruppe G. Gegeben v1, . . . , vr ∈ H linear
unabhängig und v ′ 1, . . . , v ′ r ∈ H beliebig gibt es für alle ε > 0 ein Element des
Gruppenrings µ ∈ CG mit
µvi − v ′ i < ε für 1 ≤ i ≤ r
Beweis. Es gilt, für die unitäre Darstellung von G auf H⊕. . .⊕H = H r zu zeigen,
daß das Erzeugnis CG(v1, . . . , vr) der G-Bahn des r-Tupels (v1, . . . , vr)
dicht liegt. Sicher ist der Abschluß dieses Erzeugnisses ein G-invarianter Teilraum
und der Projektor P auf besagten Teilraum gehört zum Endomorphismenring
Modto G (H r ), den wir aufgrund des Schur’schen Lemmas 12.1.3