Analysis

1334 KAPITEL VIII. FUNKTIONENTHEORIE
Beispiel 1.2.16. Die Exponentialfunktion definiert eine holomorphe Bijektion
exp : R × (−π, π)i ∼ → C\R≤0. Deren Umkehrung wird auf der oberen
Halbebene gegeben durch
log(x + iy) = log x2 + y2 + i π x
− i arctan
2 y
Wir haben also u(x, y) = log x 2 + y 2 und v(x, y) = π/2 − arctan(x/y). Es
ist eine gute Übung, nun die Cauchy-Riemann’schen Differentialgleichungen
zu prüfen. Einfacher folgert man aber die Holomorphie dieser Funktion aus
dem Satz 1.2.5 über die komplexe Differenzierbarkeit von Umkehrfunktionen.
Definition 1.2.17. Bezeichne c : C → C die komplexe Konjugation und sei
U ⊂◦ C eine offene Teilmenge. Eine Funktion f : U → C heißt antiholomorph
genau dann, wenn ¯ f = c ◦ f holomorph ist.
Übung 1.2.18. Sei U ⊂◦ C eine offene Teilmenge. Man zeige, daß eine Funktion
f : U → C antiholomorph ist genau dann, wenn f ◦ c : c(U) → C holomorph
ist. Insbesondere ist die Verknüpfung antiholomorpher Funktionen stets holomorph.
Übung 1.2.19. Eine holomorphe Funktion mit zusammenhängendem Definitionsbereich,
die nur reelle Werte annimmt, ist konstant.
Übung 1.2.20. Sei U ⊂◦ C offen und f : U × [a, b] → C, (z, t) ↦→ f(z, t) stetig.
Ist f für alle t holomorph in z und ∂f
: U × [a, b] → C stetig, so ist auch die
∂z
Abbildung F : z ↦→ b
f(z, t) dt holomorph und es gilt
a
∂F
(w) =
∂z
b
a
∂f
(w, t) dt
∂z
Hinweis: IV.2.1.13. Ich bemerke, daß wir in 1.6.14 die Holomorphie des Integrals
sogar zeigen, ohne die Stetigkeit der Ableitung vorauszusetzen. Vielmehr
wird diese Stetigkeit aus dem Beweis des Satzes von Goursat 1.6.5
folgen.
1.3 Komplexe Wegintegrale
1.3.1. Wir verwenden im folgenden die Integration stetiger vektorwertiger
Funktionen auf kompakten reellen Intervallen III.1.3, benötigen dies Konzept
jedoch nur im Fall von stetigen komplexwertigen Funktionen h : [a, b] → C,
für die man die Integral auch elementar über die Formel
b
a
f :=
b
a
Re f + i
b
a
Im f
definieren und die benötigten Eigenschaften elementar nachprüfen kann.