Analysis

1240 KAPITEL VII. MIST UND VERSUCHE
Länge Eins, so finden wir insbesondere ein Paar (U, ˜ϕ) mit U ⊂◦ TpM einer
Umgebung des Ursprungs und ˜ϕ : U → R glatt mit ˜ϕ(0) = 0 und
ϕ(v) = ˜ϕ(v)Np alias
p + v + ˜ϕ(v)Np ∈ M
für alle v ∈ U. Sicher hat ˜ϕ hat beim Ursprung eine kritische Stelle. Die
unser ˜ϕ beim Ursprung am besten approximierende quadratische Form q :
TpM → R im Sinne der Taylorentwicklung hängt nach dem zweiten Teil
unserer Proposition 3.12.6 nur von M und der Orientierung auf (TpM) ⊥
ab und nicht von der Wahl von (U, ˜ϕ). Ihre Eigenwerte im Sinne von ??
heißen die Hauptkrümmungen unserer Hyperfläche bei p in Bezug auf die
gegebene Orientierung von (TpM) ⊥ .
Definition 3.12.8. Ich erinnere und verallgemeinere ??. Gegeben ein Körper
k und ein k-Vektorraum V und ein eindimensionaler k-Vektorraum L
versteht man unter einer quadratischen Form auf V mit Werten in L
eine Abbildung
q : V → L
die sich darstellen läßt in der Gestalt q(v) = f1(v)g1(v) + . . . + fr(v)gr(v) mit
fi : V → k und gi : V → L linear.
3.12.9. In nochmals anderen Worten sagt diese Proposition, daß die Abbildung,
die jedem Tangentialvektor der Länge Eins die Schnittkrümmung in
der entsprechenden Richtung zuordnet, die Restriktion auf den Einheitskreis
einer quadratischen Form auf dem Tangentialraum im Sinne von ?? sein muß.
Die Bedeutung dieser quadratischen Form wird im folgenden Beweis besonders
deutlich werden: Es ist eben die quadratische Form q : TpM → R, für die
“das Bild der Abbildung v ↦→ p+v +q(v)Np unsere Mannigfaltigkeit lokal um
p am besten approximiert”. Im Fall eines euklidischen Raums mit Einheiten
wird insbesondere q eine quadratische Form q : TpM → (TpM) ⊥ werden, die
nach Wahl einer Orientierung von (TpM) ⊥ auch als eine quadratische Form
q : TpM → L verstanden werden kann.
3.12.10. Die Hauptkrümmungsrichtungen und Hauptkrümmungen sollten nun
vielleicht am übersichtlichsten für diese quadratische Form im Sinne von ??
verstanden werden. Im Fall mit Einheiten liegen die Hauptkrümmungen in
L ⊤ und die Gaußkrümmung gehört zu L −2 . Das gefällt mir besser als die
nachfolgende Diskussion mithilfe der sogenannten “Weingarten-Abbildung”,
für die ich keine anschauliche Interpretation kenne.
Beweis. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit dürfen wir E = R 3 und p = 0
annehmen. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit dürfen wir weiter annehmen,
daß unser Normalenvektor bei p der dritte Vektor Np = e3 der Standardbasis
des R 3 ist. Dann muß unsere Fläche lokal um p ein Graph sein, es