Analysis

94 KAPITEL II. FUNKTIONEN EINER VERÄNDERLICHEN
Definition 1.2.5. Sei (X, ≤) eine partiell geordnete Menge und Y ⊂ X eine
Teilmenge.
1. Ein Element o ∈ X heißt eine obere Schranke von Y genau dann,
wenn gilt o ≥ y ∀y ∈ Y .
2. Ein Element u ∈ X heißt eine untere Schranke von Y genau dann,
wenn gilt u ≤ y ∀y ∈ Y .
Definition 1.2.6. Sei (X, ≤) eine partiell geordnete Menge und Y ⊂ X eine
Teilmenge.
1. Ein Element s ∈ X heißt die kleinste obere Schranke oder das
Supremum von Y in X genau dann, wenn s das kleinste Element
ist in der Menge {o ∈ X | o ist obere Schranke von Y }. Wir schreiben
dann s = sup Y oder genauer s = sup X Y .
2. Ein Element i ∈ X heißt die größte untere Schranke oder auch das
Infimum von Y in X genau dann, wenn i das größte Element ist in
der Menge {u ∈ X | u ist untere Schranke von Y }. Wir schreiben dann
i = inf Y oder genauer i = infX Y .
Beispiel 1.2.7. Die Teilmenge Y = {q ∈ Q | q < 1} ⊂ Q hat kein größtes
Element, besitzt jedoch in Q eine kleinste obere Schranke, nämlich sup Y = 1.
Die Teilmenge Z = {q ∈ Q | q ≤ 1} ⊂ Q hat ein größtes Element, nämlich die
1, und das ist dann natürlich auch gleichzeitig ihre kleinste obere Schranke in
Q, also haben wir auch sup Z = 1. Die Teilmenge Y = {q ∈ Q | q < 1} ⊂ Q
hat in Q keine untere Schranke und dann natürlich erst recht keine größte
untere Schranke.
1.2.8. Besitzt eine Teilmenge Y ⊂ X ein größtes Element g ∈ Y, so gilt
g = sup Y . Besitzt eine Teilmenge Y ⊂ X ein kleinstes Element k ∈ Y, so
gilt k = inf Y . Sind Teilmengen Z ⊂ Y ⊂ X gegeben und besitzen Z und Y
ein Supremum in X, so gilt sup Z ≤ sup Y .
Ergänzendes Beispiel 1.2.9. Auf der Potenzmenge einer beliebigen Menge ist
die Inklusionsrelation eine partielle Ordnung. Bezüglich dieser Ordnung ist
die Vereinigungsmenge im Sinne von ?? eines Mengensystems sein Supremum
und die Schnittmenge sein Infimum.
Übung 1.2.10. Die Menge {x ∈ Q | x 2 ≤ 2} besitzt in Q keine größte untere
Schranke.