Analysis

340 KAPITEL III. ANALYSIS MIT KOMPLEXEN ZAHLEN
1. a ∈ A ⇒ |a| ∈ A. Um das zu zeigen, schreiben wir a = λb mit λ ∈ (0, ∞)
und b ≤ 1 und erhalten |a| = λ √ b 2 . Nach Lemma 3.2.11 gibt es eine
Folge pn von Polynomen, die auf [0, 1] gleichmäßig gegen √ x strebt, und
dann strebt λpn(b 2 ) auf X gleichmäßig gegen |a|. Da A eine Unteralgebra ist,
liegen alle λpn(b 2 ) auch in A, und da A abgeschlossen ist unter gleichmäßiger
Konvergenz, folgt |a| ∈ A.
2. a, b ∈ A ⇒ sup(a, b) ∈ A, inf(a, b) ∈ A. In der Tat gilt
sup(a, b) = 1/2(a + b + |a − b|)
inf(a, b) = 1/2(a + b − |a − b|)
3. Für x = y zwei verschiedene Punkte aus X und α, β ∈ R gibt es a ∈ A
mit a(x) = α, a(y) = β. In der Tat betrachte man die R-lineare Abbildung
A → R 2
a ↦→ (a(x), a(y))
Da A Punkte trennt, gibt es a ∈ A mit a(x) = a(y). Da die Konstanten
zu A gehören, liegt jedoch auch (1, 1) im Bild unserer linearen Abbildung.
Damit enthält das Bild unserer linearen Abbildung zwei linear unabhängige
Vektoren und ist folglich ganz R 2 .
4. Für beliebige f ∈ C(X, R), x ∈ X und ε > 0 gibt es ax ∈ A mit ax(x) =
f(x) und
ax(y) < f(y) + ε ∀y ∈ X
In der Tat, für alle y ∈ X finden wir ax,y ∈ A mit ax,y(x) = f(x) und
ax,y(y) = f(y). Auf einer geeigneten offenen Umgebung Uy von y gilt dann
ax,y(z) < f(z) + ε ∀z ∈ Uy. Da X kompakt ist, gibt es nun E ⊂ X endlich
mit X =
y∈E Uy. Dann nehmen wir ax = infy∈E ax,y und haben unser ax
gefunden.
5. Für beliebiges f ∈ C(X, R) und ε > 0 gibt es a ∈ A mit a − f < ε. Sei
in der Tat für jedes x ∈ X ein ax wie eben gewählt. Dann hat jeder Punkt
x ∈ X eine offene Umgebung Vx mit f(z) − ε < ax(z) < f(z) + ε ∀z ∈ Vx
wobei die zweite Ungleichung sogar gilt für alle z ∈ X. Da X kompakt ist,
gibt es wieder F ⊂ X endlich mit X =
x∈F Vx. Ist X nicht leer, so nehmen
wir nun a = supx∈F ax und haben unser a gefunden. Der Fall X = ∅ ist eh
unproblematisch.
Definition 3.2.12. Gegeben ein Kompaktum X betrachten wir nun die C-
Ringalgebra C(X) aller stetigen komplexwertigen Funktionen auf X mit der
Supremumsnorm.