Analysis

4. ERSTE ANWENDUNGEN IN DER ZAHLENTHEORIE 1421
Satz 4.2.7 (Fortsetzbarkeit von L-Reihen). Alle L-Reihen L(z, χ) lassen
sich meromorph auf die Halbebene Re z > 0 fortsetzen. Ist χ nicht der
konstante Charakter, so ist diese Fortsetzung holomorph und hat keine Nullstelle
bei z = 1. Ist χ der konstante Charakter, so hat diese Fortsetzung einen
einfachen Pol bei Eins, der dann aber auch ihr einziger Pol ist.
Beweis. Im Fall des konstanten Charakters zeigt die Produktentwicklung,
daß unsere L-Reihe aus der Riemann’schen ζ-Funktion entsteht durch das
Wegteilen der Euler-Faktoren zu allen Primteilern von m. In diesem Fall
folgt damit unsere Behauptung aus der entsprechenden Aussage für die Riemann’sche
ζ-Funktion 4.1.7. Den Beweis im Fall allgemeiner L-Reihen verschieben
wir auf das Ende des anschließenden Abschnitts 4.3.
Ergänzung 4.2.8. Unsere Dirichlet-Reihen lassen sich meromorph auf ganz C
fortsetzen und erfüllen bemerkenswerte Funktionalgleichungen. Das soll hier
nicht weiter ausgeführt werden.
Definition 4.2.9. Gegeben eine Gruppe G notieren wir X(G) := Grp(G, C × )
die Menge aller Gruppenhomomorphismen von G nach C × . Sie heißen die
Charaktere oder genauer die multiplikativen Charaktere unserer Gruppe
G. Die Charaktere bilden eine Untergruppe von Ens(G, C × ) und jeder
Gruppenhomomorphismus G → H liefert durch Vorschalten einen Gruppenhomomorphismus
X(H) → X(G).
Lemma 4.2.10. Für jede endliche abelsche Gruppe G und jeden Charakter
χ ∈ X(G) gilt
|G|
χ(g) =
0
χ ist konstant;
sonst.
g∈G
Beweis. Im Fall des konstanten Charakters ist das eh klar. In jedem Fall gilt
für jedes Element g1 ∈ G natürlich
χ(g) =
χ(g1g) = χ(g1)
χ(g)
g∈G
g∈G
Ist nun der Charakter χ nicht konstant, so gibt es ein g1 ∈ G mit χ(g1) = 1
und das Lemma folgt auch in diesem Fall.
Übung 4.2.11. Das Auswerten an der Restklasse der Eins definiert einen Isomorphismus
zwischen der Charaktergruppe der zyklischen Gruppe Z/dZ und
der Gruppe der d-ten Einheitswurzeln X(Z/dZ) ∼ → µd, χ ↦→ χ(¯1).
Proposition 4.2.12. Gegeben endliche abelsche Gruppen H ⊂ G läßt sich
jeder Charakter von H zu einem Charakter von G fortsetzen.
g∈G