Analysis

1. ABLEITUNGEN IN MEHREREN VERÄNDERLICHEN 355
SkriptenBilder/BildDPo.png
Dies Bild soll die Bedeutung des Differentials in der Anschauung einer
Abbildung “als Abbildung” verdeutlichen. Wir betrachten die
Polarkoordinatenabbildung
f : R>0 × (0, 2π) → R 2 , (r, ϑ) ↦→ (r cos ϑ, r sin ϑ)
wobei verwirrender Weise die Klammern ( , ) einmal ein offenes Intervall
und dann wieder Elemente kartesischer Produkte andeuten. Ihr Differential
wird beschrieben durch die Jacobi-Matrix
cos ϑ − r sin ϑ
[df] =
sin ϑ r cos ϑ
Insbesondere wird das Differential an der Stelle a = (1 1 π , ) beschrieben
2 2
durch die Matrix
1 0 − 1
[dpf] =
2
1 0
Die Pfeile im Bild sollen zeigen, daß das in der Tat diejenige lineare
Abbildung L ist, für die für kleines h die Abbildung p + h ↦→ f(p) + Lh
unsere Abbildung p + h ↦→ f(p + h) besonders gut approximiert.