Analysis

1062 KAPITEL VI. MANNIGFALTIGKEITEN UND LIEGRUPPEN
Proposition 10.11.3 (Charakter-Projektor-Formel). Bilden wir für eine
endlichdimensionale einfache komplexe Darstellung L einer kompakten
Liegruppe G den Projektor eL ∈ M(G) als das Produkt des Charakters der
kontragredienten Darstellung mit der Dimension und multiplizieren noch mit
dem normalisiertem Haar’schen Maß, in Formeln
eL = χL∗(dim L)µ
so gilt eL ∗ eL = eL und eL ∗ v = v ∀v ∈ L, für jede nicht zu L isomorphe
endlichdimensionale einfache Darstellung M gilt dahingegen eL ∗eM = 0 und
damit dann natürlich auch eL ∗ w = 0 ∀w ∈ M.
Beweis. Diese Information ist bereits in 10.10.2 enthalten.
Satz 10.11.4. Wohin? Ist V eine unitäre Darstellung einer kompakten separablen
topologischen Gruppe K, so sind die eλV für λ ∈ ˆ K abgeschlossene
K-invariante Teilräume, die paarweise aufeinander senkrecht stehen und deren
Summe dicht liegt.
10.12 Einfache Darstellungen
Kommentar 1. Hier spätestens 7.4!
Satz 10.12.1 (Klassifikation der einfachen Darstellungen). Seien G ⊃
T eine zusammenhängende kompakte Liegruppe mit einem maximalen Torus,
X(T ) dessen Charaktergitter und W = W (G, T ) die Weylgruppe. So haben
wir eine Bijektion
⎧
⎨
⎩
endlichdimensionale
stetige komplexe einfache
Darstellungen von G
⎫
⎬
⎭
V ↦→
∼
→ X(T )/W
die Menge der
extremen Gewichte von V
Der Begriff eines Gewichts ist hier im Sinne von 2.4.12 zu verstehen. Unter
einem extremen Gewicht verstehen wir ein Gewicht, das unter einer (gleichbedeutend:
jeder) positiv definiten W -invarianten Z-wertigen Bilinearform
auf dem Charaktergitter maximale Länge hat.
10.12.2. Wir folgern diesen Satz aus der Weyl’schen Integrationsformel, die
wir gleich im Anschluß formulieren aber erst zu Ende dieses Abschnitts beweisen.