Analysis

1300 KAPITEL VII. MIST UND VERSUCHE
“Wappen” jedoch einen Schritt in die negative Richtung. Da das ein diskretes
Analogon der Brown’schen Bewegung ist, verwenden wir dafür die Notation
B : N × Ω → Z
(n , ω) ↦→ n−1
i=0 w(ω(i))
mit w(W ) = −1 und w(Z) = 1. Natürlich können wir auch B auffassen als
eine Abbildung B : N × Ω → R und wieder ist Bn jeweils meßbar bezüglich
Fn. Der Gewinn bzw. Verlust bei einer Handelsstrategie H nach dem n-ten
Wurf ist nun
n−1
Gn(ω) = Hi(ω)(Bi+1(ω) − Bi(ω))
i=0
als Funktion der Folge ω und ist natürlich meßbar in Bezug auf Fn. Das Bildmaß
unseres Wahrscheinlichkeitsmaßes auf Ω unter Gn alias die Verteilung
der Zufallsvariable Gn ist dann ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf R, das uns
die Wahrscheinlichkeit gegebener Gewinne oder Verluste für unsere Handelstrategie
H angibt.
4.10.3. Im Fall unserer vorne erwähnten Strategie, also: verdopple Einsatz
bei Verlust, beginne wieder mit einem Euro Einsatz bei Gewinn, würden wir
etwa mit großer Wahrscheinlichkeit kleine Gewinne machen und mit kleiner
Wahrscheinlichkeit große Verluste. Für Börsenhändler, die von Gewinnen anteilig
profitieren und große Verluste eh nicht selber tragen können, mag eine
solche Strategie durchaus sinnvoll sein, insbesondere wenn die vergleichsweise
kleinen Gewinne doch so groß sind, daß ihre Gewinnbeteiligung ein bequemes
Leben garantiert: Wenn ich mit 99% Wahrscheinlichkeit ein schönes Haus
kaufen kann, und mit 1% ins Gefängnis komme, so liegt doch von moralischen
Bedenken abgesehen die Entscheidung recht nahe.
Definition 4.10.4. Sei Ω ein Wahrscheinlichkeitsraum und Y ein Meßraum.
Ein stochastischer Prozess auf Ω mit Werten in Y ist eine meßbare Abbildung
X : R≥0 × Ω → Y
Für jedes ω ∈ Ω heißt die Abbildung R≥0 → Y, t ↦→ X(t, ω) ein Pfad unseres
Prozesses. Für jedes t ≥ 0 ist Xt : Ω → Y , ω ↦→ X(t, ω) eine Zufallsvariable.
Satz 4.10.5 (Brown’sche Bewegung). Auf der Menge aller vom Ursprung
ausgehenden Pfade Ω = {γ : R≥0 → R | γ stetig, γ(0) = 0} mit ihrer
kompakt-offenen Topologie und der zugehörigen Borel’schen σ-Algebra gibt es
genau ein Wahrscheinlichkeitsmaß, das Wiener-Maß, derart daß für den
stochastischen Prozess B : R≥0 × Ω → R, (t, γ) ↦→ γ(t) gilt: