Analysis

274 KAPITEL II. FUNKTIONEN EINER VERÄNDERLICHEN
Insbesondere folgern wir s > a und müssen nur noch die Annahme s < b zum
Widerspruch führen. Aber wäre s < b, so fänden wir ε > 0 mit [s−ε, s+ε] ⊂
Us und die Aussage des Satzes gälte für die Einschränkung von γ auf die
Intervalle [a, s − ε], [s − ε, s] und [s, s + ε]. Daraus folgte jedoch mit 7.2.15 die
Aussage des Satzes für das Intervall [a, s + ε] im Widerspruch zur Wahl von
s. Mithin haben wir s = b. Da es aber mit denselben Argumenten auch ein
η > 0 gibt derart, daß die Aussage des Satzes für die Einschränkung von γ
auf [b−η, b] gilt, folgt die Aussage des Satzes für das ganze Intervall [a, b].
Zweiter Beweis. Wir beginnen wie beim ersten Beweis und finden Umgebungen
Up wie dort, die wir sogar als Schnitte mit [a, b] von offenen Bällen B(p; εp)
annehmen dürfen. Da [a, b] kompakt ist, wird es nach 6.10.3 überdeckt durch
endlich viele solcher Umgebungen Up. Seien nun a = p0 < p1 < p2 < . . . <
pr = b die Elemente einer kleinstmöglichen Menge von Punkten, die a und
b enthält und für die die zugehörigen Umgebungen [a, b] überdecken. Es ist
dann leicht zu sehen, daß wir Zwischenpunkte qi ∈ (pi−1, pi) finden können
derart, daß auf jedem Teilintervall der so entstehenden Unterteilung von [a, b]
in 2r Teilintervalle die Folgerung unseres Mittelwertsatzes gilt. Mithin gilt
sie auch für das ganze Intervall [a, b].
Übung 7.2.16. Sei I ⊂ R eine halboffene Teilmenge und seien A : I →
M(n × m; R) und B : I → M(m × k; R) zwei differenzierbare matrixwertige
Funktionen. So ist auch das Produkt AB : t ↦→ A(t)B(t) differenzierbar und
die Geschwindigkeit (AB) ′ der Produktfunktion AB : I → M(n × k; R) wird
gegeben durch die Formel
(AB) ′ = A ′ B + AB ′
Übung 7.2.17. Man formuliere und zeige die Summenregel für vektorwertige
Funktionen.
Übung 7.2.18. Man zeige für komplexwertige Funktionen einer reellen Veränderlichen
die Summenregel (f+g) ′ = f ′ +g ′ , die Produktregel (fg) ′ = f ′ g+fg ′
und die Regel für die Ableitung des Kehrwerts (1/f) ′ = −f ′ /f 2 . In III.1.5.7
und III.1.5.14 werden wir das sogar für komplexwertige Funktionen einer
komplexen Veränderlichen zeigen.
Übung 7.2.19. Für jedes λ ∈ C und m ∈ Z ist die Abbildung R → C bzw.
R\λ → C, t ↦→ (t − λ) m differenzierbar mit Ableitung t ↦→ m(t − λ) m−1 .
Ergänzende Übung 7.2.20. (Hinweis: Schrankensatz 7.2.11.) Man zeige für
jede stetig differenzierbare Abbildung γ : I → X von einer halboffenen
Teilmenge I ⊂ R in einen normierten reellen Raum X die Stetigkeit der