Analysis

620 KAPITEL IV. FUNKTIONEN MEHRERER VERÄNDERLICHEN
7.8.19. Ich selber finde die alternative Interpretation dieser Formel mithilfe
des Gauss’schen Integralsatzes besonders anschaulich: Quillt in einem Moor
überall gleichviel Wasser hoch, so können wir seine Fläche bestimmen, indem
wir messen, wieviel Wasser in einem Graben um unser Moor abläuft. Wie
genau das Wasser auf unserem Moor zum Randgraben läuft, ist dabei völlig
unerheblich. Statt mit ω = x dy könnten wir also irdendein beliebiges ω mit
dω = dx ∧ dy nehmen und so weitere Formeln für die Fläche eines ebenen
Gebiets erhalten.
Definition 7.8.20. Sei X ein reeller Raum endlicher Dimension und seien
k ∈ N und 1 ≤ l ≤ ∞. Eine Teilmenge M ⊂ X heißt eine k-dimensionale
C l -Untermannigfaltigkeit mit Ecken oder kurz Untermannigfaltigkeit
mit Ecken von X genau dann, wenn es für jeden Punkt p ∈ M ein
Paar (U, g) gibt aus einer offenen Umgebung U ⊂◦ X von p und einem C l -
Diffeomorphismus g : U ∼ → g(U) von U auf eine offene Teilmenge g(U) ⊂◦ R n
derart, daß gilt:
g(U ∩ M) = g(U) ∩ ((R≤0) k × 0)
Ein derartiges Paar (U, g) nenne ich eine Plättung als C l -Untermannigfaltigkeit
mit Ecken oder kurz Eckenplättung von M um p.
Beispiele 7.8.21. Eine nulldimensionale Untermannigfaltigkeit mit Ecken ist
dasselbe wie eine diskrete Teilmenge. Eine eindimensionale Untermannigfaltigkeit
mit Ecken ist dasselbe wie eine eindimensionale Untermannigfaltigkeit
mit Rand. Erst in höheren Dimensionen erhalten wir etwas Neues: So wäre
zum Beispiel das “Innere eines ebenen Vielecks zusammen mit seinem Rand”
eine zweidimensionale Untermannigfaltigkeit mit Ecken der Ebene, aber keine
zweidimensionale berandete Untermannigfaltigkeit der Ebene.
7.8.22. Alle Punkte einer Untermannigfaltigkeit M mit Ecken, um die es eine
Randplättung gibt, bilden eine berandete Untermannigfaltigkeit Mr unseres
endlichdimensionalen reellen Raums, die wir den regulären Teil von M
nennen.
Beispiele 7.8.23. Der reguläre Teil einer kompakten Quadratfläche ist das
Komplement der vier Ecken. Der reguläre Teil eines kompakten massiven
Würfels ist das Komplement der Ecken und Kanten.
Satz 7.8.24 (Stokes’scher Integralsatz mit Ecken). Sei M eine kompakte
glatte Untermannigfaltigkeit mit Ecken der Dimension (k + 1) in einem
endlichdimensionalen reellen Raum. Sei der reguläre Teil Mr von M orientiert
und sei ω eine stetig differenzierbare k-Form auf einer halboffenen