Analysis

524 KAPITEL IV. FUNKTIONEN MEHRERER VERÄNDERLICHEN
Beweis. Die Ungleichung µ ∗ (A) ≤ µ(A) ist offensichtlich. Wir müssen also
nur noch µ(A) ≤ µ ∗ (A) zeigen. Dazu reicht es, wenn wir zeigen µ(A) ≤
µ ∗ (A) + ε ∀ε > 0. Für jedes ε > 0 finden wir aber eine Folge An in A mit
A ⊂ An und ∞ n=0 µ(An) ≤ µ ∗ (A) + ε, und indem wir An verkleinern zu
An\(An−1∪. . .∪A0) dürfen wir hier sogar die Fogenglieder paarweise disjunkt
annehmen. Wegen A = (A ∩ An) erhalten wir dann wie gewünscht
µ(A) = µ(A ∩ An) ≤ µ(An) ≤ µ ∗ (A) + ε
6.2.24. Gegeben A ⊂ X verwenden wir im folgenden für sein Komplement
die Abkürzung X\A = A c
Definition 6.2.25. Sei X eine Menge und µ ∗ ein äußeres Maß auf P(X).
Eine Teilmenge A ⊂ X heißt µ ∗ -meßbar oder auch ein Zerleger genau
dann, wenn für jede Teilmenge Y ⊂ X gilt
µ ∗ (Y ) = µ ∗ (Y ∩ A) + µ ∗ (Y ∩ A c )
Lemma 6.2.26 (Zerleger-Lemma). Ist X eine Menge und µ ∗ ein äußeres
Maß auf der Potenzmenge P(X) von X, so ist das System M ⊂ P(X) der
µ ∗ -meßbaren Mengen eine σ-Algebra und µ ∗ ist ein Maß auf M.
Beweis. Zunächst einmal zeigen wir, daß M eine Mengenalgebra ist. Sicher
gilt ∅ ∈ M, und aus A ∈ M folgt A c ∈ M. Wir müssen nur noch zeigen,
daß aus A, B ∈ M folgt A ∩ B ∈ M. Sei dazu Y ⊂ X beliebig. Es gilt, für
µ ∗ -meßbare A und B zu zeigen
µ ∗ (Y ) = µ ∗ (Y ∩ A ∩ B) + µ ∗ (Y ∩ (A ∩ B) c )
Da A und B schon µ ∗ -meßbar sind, finden wir aber in der Tat
µ ∗ (Y ∩ (A ∩ B) c ) = µ ∗ (Y ∩ (A ∩ B) c ∩ A) + µ ∗ (Y ∩ (A ∩ B) c ∩ A c )
= µ ∗ (Y ∩ B c ∩ A) + µ ∗ (Y ∩ A c )
= µ ∗ (Y ∩ A) − µ ∗ (Y ∩ A ∩ B) + µ ∗ (Y ∩ A c )
= µ ∗ (Y ) − µ ∗ (Y ∩ (A ∩ B))
Also ist M schon mal eine Mengenalgebra. Sind A, B ∈ M disjunkt, so gilt
µ ∗ (A ∪ B) = µ ∗ (A) + µ ∗ (B), ja es gilt sogar
µ ∗ (Y ∩ (A ∪ B)) = µ ∗ (Y ∩ A) + µ ∗ (Y ∩ B)
für beliebiges Y ⊂ X, denn unter der Voraussetzung A ∩ B = ∅ können wir
schreiben Y ∩ A = Y ∩ (A ∪ B) ∩ A und Y ∩ B = Y ∩ (A ∪ B) ∩ Ac . Induktiv
folgt für A0, . . . , An ∈ M paarweise disjunkt und Y ⊂ X beliebig
µ ∗ n
(Y ∩ (A0 ∪ . . . ∪ An)) = µ ∗ (Y ∩ Ai)
i=0