Analysis

3. WEGINTEGRALE 407
Ergänzung 3.2.14. Ein 2-Tensor heißt symmetrisch bzw. antisymmetrisch
genau dann, wenn er an jedem Punkt als Wert eine symmetrische bzw. antisymmetrische
Bilinearfom auf X annimmt. Antisymmetrische 2-Tensoren
werden wir später als sogenannte 2-Formen wiedertreffen. Eine Riemann’sche
Metrik ist per definitionem ein symmetrischer 2-Tensor mit der zusätzlichen
Eigenschaft, positiv definit zu sein.
3.3 Wegintegrale
Definition 3.3.1. Gegeben γ : [a, b] → A ein stetig differenzierbarer Weg
in einer halboffenen Teilmenge A eines endlichdimensionalen reellen Raums
X und ein stetiges Kovektorfeld ω : A → X∗ auf A definieren wir eine reelle
Zahl
ω, das Integral des Kovektorfelds ω längs des Weges γ, durch
γ
die Vorschrift
γ
ω :=
b
a
ωγ(t) (γ ′ (t)) dt
In der physikalisch motivierten Terminologie nach II.7.2.2 gilt es also, zu
jedem Zeitpunkt t den Kovektor ωγ(t) auf dem Geschwindigkeitsvektor γ ′ (t)
auszuwerten und die so entstehende reellwertige Funktion zu integrieren.
3.3.2 (Wegintegrale über Geradensegmente). Gegeben ein stetiges Kovektorfeld
ω : A → X∗ auf einer halboffenen Teilmenge A eines endlichdimensionalen
reellen Raums X und Punkte p, q ∈ A, bei denen das ganze
verbindende Geradensegment [p, q] in A liegt, vereinbaren wir für das Integral
unseres Kovektorfelds über den geraden Weg γ : [0, 1] → A, t ↦→ p + t(q − p)
von p nach q die Notation q
ω := ω
p
Für ein stetiges Kovektorfeld ω = f(t) dt auf einem reellen Intervall A ⊂ R
und p, q ∈ A erhalten wir dann insbesondere
q
p
ω =
1
0
f (p + t(q − p)) (q − p) dt =
γ
q
p
f(t) dt
so daß unsere neue Notation links sich als eine Verallgemeinerung unserer
schon vor langem eingeführten Notation rechts erweist. Weiter erkennen wir,
daß in diesem Kalkül das Differential dt der Identität t auf R in einem ideellen
Sinn dasselbe bedeutet wie das dt, das wir bisher bei Integralen oft hinzugefügt
hatten, um klar zu machen, über welche Variable integriert werden
soll. Ist A ⊂ R ein halboffenes Intervall und f : A → R eine stetig differenzierbare
Funktion, so erhalten wir mit unserer Formel df = f ′ (t) dt und